1. .
2. a.
b.
c. .
3. Si Si est l’événement « Babou écoute i chansons Sérére en fin de journée » alors et la probabilité d’écouter au moins 3 chansons Sérére en fin de journée
est :
Donc Babou a d’écouter au moins 3 chansons Sérère en fin de journée et Bachir a bien raison.
Le nombre total de boules est n + (8 + n) + 20 = 28 + 2n.
1. Notons , et les probabilités de tirer une noire, une blanche et une rouge respectivement.
Puisque les tirages sont avec remise, ces probabilités sont indépendantes du numéro (premier ou second ) du tirage.
Pour gagner, il faut avoir tiré une noire au premier tirage (probabilité ) ou avoir tiré une blanche au premier tirage et une noire au second tirage (probabilité ).
Donc la probabilité de gagner est .
2. a. Etudions d’abord les variations de f.
f est continue et dérivable sur et . Voici son tableau de variations.
On y voit nettement que f atteint un maximum égal à
au point 16 (qui est heureusement un entier).
Pour que cette probabilité soit maximale, il faut donc et il suffit que n = 16 et cette probabilité vaut .
b. La restriction de f à atteint un minimum égal à au point 1.
Pour que cette probabilité soit minimale, il faut donc et il suffit que n = 1 et cette probabilité vaut .
Quand x tend vers , f(x) tend vers
mais cette valeur n’est pas atteinte par f dans l’intervalle
3. a. X prend les valeurs et avec les probabilités
L’espérance mathématique de X est
b. La nullité de l’espérance mathématique signifie donc 3p + q = 60.
Le couple est une solution "particulière" de l’équation diophantienne 3p + q = 60. La solution générale de cette équation est donc
et
Les contraintes supplémentaires sur p et q deviennent - k+ 20 > 3k > 8 c’est à dire
k vaut donc 3 ou 4 et les couples (p, q) possibles sont (17, 9) et (16, 12).
4. Pour p = 16 et q = 12, on sait d’après ce qui précède que l’espérance mathématique est nulle.
La variance vaut alors
Et l’écart type vaut
Pour chaque jour , posons .
Cette réunion disjointe car les deux événements et sont contraires
Les données du problème se traduisent par: et pour tout jour de l'année différent du premier jour:
1. et
{
Pour trouver la troisième valeur, écrivons:
Alors
Et comme
Puisque et sont contraires,
Par conséquent
2. Comme dans la question précédente, écrivons:
Alors
\\
Et comme et
{}
3. a
est donc la suite géométrique de premier terme et de raison }
b. .
.
4. La probabilité que cet élève a de manger du riz est .
Cette quantité étant négative, la suite est décroissante. De plus (D'ailleurs la limite de la suite est .)
Par conséquent c'est à dire
1. L'évènement G : " Obtenir deux boules de couleur" est réalisé si et seulement si on a soit deux boules noires (évènement G), soit deux boules blances , soit deux boules rouges.
Puisque ces trois évènement sont incompatilbles,
c'est à dire
2.a. Notons le vecteur
.
Le vecteur étant non nul, les trois points et ne sont pas alignés ; ils déterminent donc un plan ayant ce vecteur pour vecteur normal ou tout autre vecteur non nul qui lui est colinéaire, par exemple, le vecteur de coordonnées
On en déduit aussi que le plan (NBR) a pour équation cartésienne, d étant un réel à déterminer.
Pour connaitre la valeur de d, il suffit d'exprimer que, par exemple, appartient au plan (NBR) ; ce qui signifie que 9 + d =0 c'est à dire d= -9. On trouve donc que ce plan à pour équation x + y + z - 9 = 0
b. La somme de toutes les boules étant 9, on a n + b + r = 9 ; donc le point M appartient au plan (NBR).
c. Le point M ayant pour coodonnées (n,b,r), on a : donc
.
d. H est le projeté orthogonal de O sur le plan NBR signifie c'est à dire
Ce qui est équivalent à
Donc les coordonnées de H sont (3,3,3)
e. Pour que g(n,b,r) soit minimale, il suffit que le soit .OM doit donc minimale ; c'est à dire M doit égale à H ou n = b = r =3
Dans ce cas
3. Ici g(n,b,r) = 1/4.La variable aléatoire X prend les valeurs -1000 (si les deux boules tirées ne sont pas de couleur) et k-1000(si les deux boules tirées son t de couleur) avec les probabilités respectives 1 - g(n,b,r) = 3/4 et g(n,b,r) = 1/4
Par conséquent .Pour que le jeu soit équitable, il faut et il suffit que E(x)=0 c'est à dire k = 4000
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