admet une branche parbolique en , de direction (oy)
d'où f'(x)=0 S{-1 ; 3}.
E(0,f(o)=(0,-3).
F est continue et croissante sur [-1, 3] donc f est bijection J = [-1,3] sur
alors f(0)=-3
est l'axe du domaine limite sur C, l'axe des abscisses et la droite d'abscisse
et
1)
Le signe de dépend du signe de car pour alors
Si alors donc g est strictement croissante
Si alors donc g est strictement décroissante.
2)
est le maximum de g sur donc pour
B) Etude et représentation graphique de la fonction f:
1) et
2)
et donc la droite D: est asymptote à en .
Signe de dépend du signe de \ln{x}
car ;
Si alors d'où est sous D
Si alors d'où est sur D
Si alors = D
3)
4) Le signe de dépend du signe du
Or pour ; alors d'où f est strictement croissante.
5) T:
6) a) F est continue et strictement croissante sur alors
f est bijective de vers un intervalle =
or donc il existe un seul tel que
donc
b)
donc et
7) et sont symétriques par rapport à la droite d'équation
c) Calcul d'aire
1)
car est de la forme
2)
L'aire est
Partie A
A.1)
d'où f'(x) > 0 alors f est strictement croissante sur
A.2) f(1) = 1 - 1 + ln1 = 0
Ainsi :
si x ]0,1[ alors f(x) < 0
si x > 1 alors f(x) > 0
si x = 1 alors f(x) = 0
A.3) f est continue et strictement croissante sur donc f est bijective sur vers l'intervalle
f(1) = 0 alors
et
Partie B
B.1) g est définie si x > 0 donc
B.2)
B.3) Le signe de dépend du signe de f(x) car > 0
B.4)
Alors la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses en
B.5)
B.6)
a) est de la forme donc est une primitive de
b)
c) l'aire en
u.a = 2 cm 2 cm = 4
L'aire en est
1)
et g est continue dérivable sur
signe de g'(x) et sens de dérivation de g
alors
Si alors g'(x) < 0 d'où g est strictement décroissante.
Si alors g'(x) > 0 d'où g est strictement croissante.
signe de g(x) suivant les valeurs de x
Le minimum de g dans est donc pour tout ; g(x) > 0.
2)
f est définie, continue et dérivable sur
a)
levons l'indétermination :
d'où
b)
car
d'où admet une branche parabolique de direction (Oy) en .
c)
d'où la droite D : y = x - 2 est asymptote à en
d)
Signe de
donc le signe de f(x) - y dépend du signe de x+1
Si alors f(x) - y < 0 donc est en dessous de (D).
Si alors f(x) - y < 0 donc est au dessus de (D).
Si x = -1 alors = (D)
e)
Pour , donc le signe de f'(x) dépend du signe de g(x).
Or g(x) > 0 pour ; d'où f'(x) > 0 donc f est strictement croissante sur .
Tableau de variation de f
f) T : y = f'(0)(x-0) + f(0)
T : y = x
g)
f est continue et strictement croissante sur donc f est continue et strictement croissante sur [0 ; 1] car
Alors f est bijective de l'intervalle [0 ; 1] vers un intervalle J = f([0 ; 1]) = [f(0) ; f(1)] =
f(0)=0 donc
h) Traçons dans le repère
i)
Posons
alors
l'aire du domaine plan délimité par la courbe , (D) et les droites d'équations x = -2 et x = 3 est :
1)
La courbe représentative de g passe par (ln3, ln3) alors g(ln3) = ln3
La courbe de g admet au point A une tangente parallèle à l'axe des abscisses c'est à dire g'(ln3) = 0
avec
aln3 + b - 2 = ln3 donc ln3 + b - 2 = ln 3 soit b - 2 = 0 et b = 2.
2)
a)
Ou bien
d'où
b)
et
D'où la droite est asymptote à en
et
D'où la droite est asymptote à en
Signe de f(x) - y
Au voisinage de : d'où est en dessous de
Au voisinage de : d'où est au dessus de
c)
donc f est croissante sur
d) Sur [-2,-1], g est continue et strictement croissante, alors g est bijective de [-2,-1] vers J = f([-2,-1]) = [f(-2),f(-1)]
donc il existe un seul tel que f(x) = 0.
e)
f)
donc est une primitive de h(x) sur
L'aire du domaine est
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