1. a pour affixe .
B^\prime = f(B) a pour affixe .
2. Le point O est invariant par f. Un point M distinct de O, d’affixe z est invariant par f si et seulement si .
E est donc l’ensemble des cercles de centre O et de rayon
3. L’affixe de C est . Un point M d’affixe z appartient à si et seulement si z et ont même argument c’est à dire si et seulement si , a avec a réel > 0
Un point M(z) de et son image M^\prime(z^\prime) sont symétriques par rapport à si et seulement si .
4. a. .
.
b. La suite est la suite arithmétique de premier terme et de raison .
c. .
5. a. M(z) appartient à et est symétrique avec son image par rapport si et seulement s’il existe tel que . Donc un point M(z) appartient à et est symétrique avec son image par rapport si et seulement s’il existe tel que :
b. Soit M(z) un point de et M^\prime(z^\prime) son image par f.
Alors |z^\prime| = |z| puisque .
Donc si |z| est compris entre et , il en est de même de |z^\prime|. Autrement dit si M
appartient à , son image appartient à .
1. Soit M un point du plan.pan
Faisons intervenir les barycentre et des systèmes et respectives.
Alors
E est donc le cercle de diamètre
L'ensemble F est l'arc capable d par les points A, B et l'angle . Soit T l'unique demi droite d'origine telle que pour tout point P de T, on a :
signons par H l'intersection de la médiatrice de [ AB] avec la perpendiculaire à T passant par A et
par C le cercle de centre H et de rayon HA . Alors est l'arc de C mit A et B tel que F et T se trouvent dans des demi plans distincts de frontière (AB).
3.a) D étant l'image de B par l'hométhétie de centre A et de rapport , .
On en déduit que .
C étant l'image de B par la rotation de centre A et d'angle on a AC = AB et
Dans le tableau suivant les points de la deuxième ligne sont les image s par s des points de la première ligne.
Le rapport de s est est son angle est modulo :
Le rapport est de et son angle est
b) On a aussi = rapport de s c'est à dire = 4 ou I appartient à
Puis = angle de s c'est à dire ou I appartient .
I est donc le seul point d'intersection de et de On a encore = angle de s c'est à dire
On a encore = angle de s c'est à diere
D'autre part = - angle de s c'est à dire
On en déduit en faisant la différence c'est à dire
Donc les point I,A,C et D sont cocycliques, autrement dit I appartient au cercle circonscrit au triangle ACD.
1. Puisque
Donc {
est bien imaginaire pur.
est bien imaginaire pur.}
2. a. Le rapport de est
Puisque et ont pour images respectives et par , on a : ; donc {.}
b. Le rapport de est
et ont pour images respectives et par .
On a donc : ; donc .
c. D'après la première question on a :
{}
3. a. Le centre de étant le point l'écriture complexe de est , nombre complexe à déterminer. a pour image se traduit par : ; donc ; donc et
l'écriture complexe de est :
a pour affixe .
a pour affixe .
a pour affixe .
Par conséquent :
Le vecteur a pour affixe
{Le vecteur a donc pour affixe }
Le vecteur a pour affixe .
{Le vecteur a donc pour affixe . }
Puisque est imaginaire pur, le vecteur est un directeur de la droite ;
{le point appartient donc à la droite .}
4. Puisque est imaginaire pur, est réel pur,
{le vecteur est donc orthogonal de la droite .}
On en déduit que le point est bien le projeté orthogonal de sur .
a. La relation (\ref{EqParabole}) devient .
Donc { appartient à la parabole de foyer et de directrice la droite .}
1. étant le symétrique de par rapport à on a , le point est donc sur ; et comme la droite est perpendiculaire à , est un sommet de .
Soit le milieu du segment . Les points et appartiennent à une même perpendiculaire à .
Un point est un sommet de ssi il appartient à l'axe focal i.e à la droite et .
Cette dernière relation signifie que ou
.
Les deux vecteurs et sont donc orthogonaux et puisqu'ils sont colinéaires, un de ces deux vecteurs est nul (et l'autre non nul).
Comme , on doit avoir ; donc
Par conséquent
Le point est le milieu du segment
La construction des asymptotes n'est pas demandée. (Leur réunion a pour équation dans le repère de l'exercice avec )
2.a. Un point du plan d'affixe appartient à si et seulement si c'est à dire ou
Un point du plan d'affixe appartient à si et seulement si c'est à dire ou .
Finalement appartient à ssi .
b. Un point du plan d'affixe appartient à ssi
Dans la première relation, tirons en fonction de , mettons cette valeur dans la deuxième relation, multiplions par et développons; alors
appartient à ssi
Puisque le point dont l'affixe est appartient à
, est solution de chacune des deux équations. On peut donc mettre en facteur dans le polynôme comme le suggère la question posée.
En procédant par identification ou par division euclidienne, on trouve par conséquent
On peut donc prendre
c. Puisque et
est une solution de l'équation .
L'équation est équivalente à soit .
Cette équation a donc trois solutions : et
et comme pour tout , les trois complexes sont bien solutions du système.
Pour montrer que les points ayant pour affixes les forment un triangle équilatéral il suffit de vérifier que ou
Remarque 1.
1. Lorsque l'on prend comme origine l'intersection de et de , alors ou et est confondu avec l'un des
2. Les trois complexes vérifient et avec .
et étant les points d'affixes respectives , le triangle est l'image du triangle par la similitude de centre de rapport et d'angle
Puisque le triangle est équilatéral, il en est de même du triangle .
1.a. Le point est tel que
.
Donc le point est entièrement défini par la relation ;
est tel que soit un parallélogramme.
Le point est tel que
.
Donc le point est entièrement défini par la relation ;
est tel que soit un parallélogramme.
La droite est une droite des milieux pour le triangle , donc a même nature que :
est équilatéral direct
La droite est la médiatrice du segment parce que le triangle est équlatérale. Donc, puisque est le milieu de , l'image du triangle équilatérale direct par la symétrie orthogonale d'axe est un triangle équilatérale indirect.
est la rotation de centre et d'angle . Donc .
Ensuite, .
On sait que est une rotation de même angle que = .
La relation et est équilatéral direct entraîne que le centre de est .
est la rotation de centre et d'angle
On en déduit, puisque que {le triangle est équilatéral direct}.
2. Antécédent
Image par
a. L'angle de est L'angle de est
Le rapport de est . Or . Donc le rapport de est .
On a angle de .
rapport de .
Les trois conditions:
suffisent pour dire que
b. Puisque les similitudes planes directes conservent les angles, on peut lire dans le tableau précédent que:
angle de = .
Or parce que le point appartient au segment .
Donc
et comme les quatre points et ne sont pas alignés, ils sont cocycliques.
De même = angle de = .
D'un autre côté, la droite étant la bissectice du triangle équilatérale indirect , l'angle vaut .
On en déduit que puis que les points et sont cocycliques
En résumé, le point appartient à l'intersection des deux cercles et ; où est le cercle contenant les points et et le cercle contenant les points et .
De plus le point est différent de parce que est fixé par et non.
Ces conditions définissent parfaitement le point
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