1. En désignant par le terme central de la progression arithmétique et par sa raison, on peut écrire: et .
Les autres données se traduisent alors par:
c'est à dire
Soit
En faisant la différence membre à membre et en simplifiant par , on trouve soit .
La première équation devient alors:
\ie .
Ensuite et
.
Pour calculer la variance, calculons d'abord .
.
Alors .
2. a. donc .
2.b.
.
Soit, en se souvenant que :
.
On peut écrire en utilisant la relation de Schales et en développant:
.
Le troisième du second membre est nul parce que est le barycentre du système . Donc,
.
La relation est alors équivalente à: ou .
Par conséquent
où et sont les deux points de
dont la distance au point est et
Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher: 4 boules vertes et 2
boules jaunes.
1) On tire au hasard simultanément 2 boules de l'urne.
X est la variable aléatoire qui a chaque tirage de 2 boules, associe le
nombre de boules vertes tirées.
Déterminons la loi de probabilité de X.
on a X(
on tire au hasard simultanément 2 boules parmi 6 donc
est l'évènement ne pas avoir de boule verte parmi les 2 boules tirées.
,
est l'évènement obtenir une boule verte parmi les 2 boules tirées.
est l'évènement, les 2 boules tirées sont vertes.
on obtient:
Calculons l'espérance mathématique de .
On a
2) On tire au hasard deux fois de suite 2 boules simultanément, les boules
tirées n'étant pas remises dans l'urne.
Soient A,B,C et D les évènements suivants :
A : "Aucune boule verte n'est tirée au cours du premier tirage de 2 boules"
B : "Une boule verte et une boule jaune sont tirées au cours du premier
tirage de 2 boules"
C : "Deux boules vertes sont tirées au cours du premier tirage de 2 boules"
D: "Une boule verte et une boule jaune sont tirées au cours du
deuxième tirage de 2 boules"
a) Calculons P(D/A), P(D/B) et P(D/C).
b) On en déduit la probabilité des évènements
On a :
donc
donc
d'où
donc
d'où
Calculons P(D).
On a
Or et sont 2 à 2 disjoints
donc P(D)=P(DP(DP(D
P(D
1)
est l'évènement «tirer 2 blanches»
2) est la variable aléatoire qui prend la valeur si on obtient
deux boules de même couleur et pour deux boules de couleurs distinctes.
où est l'évènement
«tirer verts»
et
3)
suit une loi binomiale de paramètres et
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