1.a. Nous sommes en présence d'une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants de degré un ou deux selon que est égal à ou non.
L'équation caractéristique est:
- Si , est une équation du premier degré. Sa seule racine est .
La solution générale de l'équation est alors , constante réelle.
- Si , est une équation du second degré dont le discriminant réduit est .
* Si est égal à \ie , l'équation a une racine double .
La solution générale de l'équation est alors , et constantes réelles.
* Si est \ie , l'équation a deux racines réelles simples
et .
La solution générale de l'équation est alors , et constantes réelles.
* Si est \ie , l'équation a deux racines complexes simples conjuguées et avec et .
La solution générale de l'équation est alors , et constantes réelles.
b. la solution de dont la courbe passe par le point et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation .
On doit alors avoir et .
Ici est à , donc s'écrit: , et constantes réelles.
.
Les conditions satisfaites par deviennent :
et c'est à dire et , puis
2. La fonction est continue et dérivable dans
et (déjà calculé dans la question précédante).
L'équation est équivalente à . Ses solutions dans sont telles que soit .
Les solutions de cette équation dans sont alors et .
Cette équation et la dérivée ont les mêmes zéro.
Pour déterminer le signe de on peut résoudre des inéquations trigonométriques.
Mais on peut aussi dire que dans tout intervalle où ne s'anulle pas, elle garde un signe constant parce qu'elle est continue. C'est une application très pratique du théorème des valeurs intermédiaires.
appartient à l'intervalle et est , donc est dans .
appartient à l'intervalle et est , donc est dans .
appartient à l'intervalle et est , donc est dans .
Voici le tableau de variations de .
Et voici les courbes représentatives de , et .
3. a. Pour tout appartenant à et tout appartenant à , parce que la fonction cosinus est périodique de période .
Donc .
En dérivant cette dernière expression par rapport à on obtient:
.
En particulier pour tout appartenant à et tout appartenant à , . Cette relation permet de déterminer parfaitement le signe de dans .
Plus précisément:
Si appartient à un intervalle du genre ou , alors est positif
Si appartient à un intervalle du genre , alors est positif
Un point de coordonnées appartient à ssi \ie ou appartenant à , et alors .
Donc
b. Un point de coordonnées appartient à ssi c'est à dire ou appartenant à , et alors .
Donc .
c. En un point commun à et à , la pente de la tangente à est
et
la pente de la tangente à est
.
Les deux tangentes ayant même pente et passant par le point sont confondues.
En un point commun à et à , la pente de la tangente à est
et
la pente de la tangente à est
.
Les deux tangentes ayant même pente et passant par le point sont confondues.
d. . Or .
Le théorème des gendarmes permet de conclure que .
4.a. Pour simplifier posons , de sorte que
;
ensuite intégrons une première fois par parties en posant:
Alors
intégrons une deuxième fois par parties en posant:
Alors .
c'est à dire ou .
Or et et .
Donc
b. avec .
La somme est la somme des premiers termes de la progression
géomtrique de premier terme et de raison .
Donc .
Puisque , la suite admet une limite et cette limite est égale à:
s=.
représente l'aire géométrique du domaine plan délimité par l'axe des abscisses,
la verticale d'équation , la verticale
d'équation et la courbe représentative de .
représente l'aire géométrique du domaine plan délimité par l'axe des abscisses,
la verticale d'équation et la courbe représentative de .
5.a
et .
On a:
et
.
et
.
Les zéro de sont et .
Le zéro de est .
On détermine les signes de et par la méthode utilisée pour déterminer le signe de .
Voici le tableau de variations conjointes.
La tangente au point de paramètre est la droite passant par le point de coordonnées et dont un vecteur directeur a pour coordonnées ou .
La tangente au point de paramètre est la droite passant par le point de coordonnées et dont un vecteur directeur a pour coordonnées .
b. Rapellons que étant un réel, le plan étant muni d'un repère orthonormé et en désignant par le point de cordonnées
alors est une mesure de l'angle
.
On en déduit que .
a pour coordonées
et
.
Donc .
Puis .
1. L'équation caractéristique est donc ou
Les solutions sont de la forme : . +. .
2.
3. a g vérifie (2)
. f vérifie (1)
en posant
b)
donc ;
d'où
puisque , une
primitive de
sera la fonction
or
une primitive de est
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