1.a.
b. et sont des nombres pairs, produit de nombres impairs, est impair; donc
est un nombre pair.
c. ; est donc divisible par et . Oui et appartiennent à .
2.a. Les valeurs possibles de sont
b. .
étant premier et strictement supérieur à , est premier avec ; donc, d'après le petit théorème de Fermat . On obtient, en multipliant par :
En appliquant ce résultat à puis , on en déduit modulo
c. Puisque divise et qu'il est premier avec , il divise d'après le théorème de Gauss; donc .
d. et appartiennent à et si est un nombre premier strictement supérieur à , il appartient aussi à .
est donc l'ensemble de tous les nombres premiers.
1.a. On a, pour tout réel compris entre et :
.
Puis en intégrant:
.
C'est à dire.
b. .
2.a. En réduisant le deuxième membre au même dénominateur, on obtient:
Donc et sont tels que et ,\; . Alors et ; ce qui entraîne .
Par conséquent
3.a. On a avec .
Donc en procédant à une ittération: . Ensuite .
b. Dans les inégalités de la question {1.a.}, remplaçons l'intégrale par sa valeur tirée de la question {1.b.}
.
ce qui permet d'encadrer :
Puis sommons membre à membre ces inégalités depuis à , on obtient la relation demandée :
Comme , le théorème des gendarmes permet de conclure que .
c. La relation établie dans la question{1.b.} donne par sommation:
ou en faisant intervenir la relation de Schales pour les intégrales:
Ensuite en intégrant:
Finalement .
Puisque et , on en déduit que
EXAMEN.SN V2.0 © RESAFAD SENEGAL - Avenue Bourguiba x rue 14 Castors, Dakar (Sénégal) - Tél/Fax : +221 33864 62 33