PARTIE A :
Soit f une fonction définie sur et ayant une dérivée continue et croissante.Pour tout
on pose : .
1. Démontrer la reletion suivante :
(0.1)
a. En appliquant le théorème des accroissements finis à dans un intervalle bien choisi.
b. En utilisant la valeur moyenne de sur . [On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle est :
2. En utilisant la relation (0,1) de la question {{1.}}démontrer que:
(0.2)
3. Dans cette question on prend
a. Verifier que la suite est monotone.
b. En utilisant la relation (0,2) ,de la question {{2}} montrer que la suite est bornée.
c. En deduire que la suite de terme général est convergente et que sa limite appartient à l'intervalle
4. Dans cette question on prend
a. En utilisant la relation (0.2), montrer que
b. Montrer que
PARTIE B :
- Calculer pour tout
a. En effectuant le changement de variable et en remarquant que la fonction
est périorique de période .
b. En utilisant le résultat admis suivant :
2. Pour tout réel , on considère la fonction définie sur <math> par:
.
a. Montrer que les fontions sont continues sur .
b. Montrer que :
En déduire que :
(0.3)
3. On veut utiliser les résultats précédents pour calculer
a. En utilisant la relation (0.3) comparer :
b. Déduire de la question {{4.b. partieA, }}
c. Calculer. [on pourra introduire l'entier ; ou' E désigne la fonction partie entière.]
4. Montrer que :
En déduire
{{Partie A}}
1)
a) La fonction est continue sur donc elle y admet des primitives. Soit L l'un d'entre elles.
Donc ,
_ donc H est définie sur , et dérivable sur .
b)
Ainsi
or et d'où
Ainsi ,
avec
2) a) G dérivable sur
F dérivable sur
g dérivable sur
d'où
_ or
On en déduit que
b)
donc
et
entraine
d'où
{{Partie B}}
1)a)
d'où
b)
or
c)
donc
2)
a)
b)
c) On a
donc
or
d'où =
or
d'où
pas de corrigé
Or
donc
Or
donc
Or
d' où
donc
Or
d'où
2)
Soit avec
a)
Montrer que G dérivable sur
dérivable sur et \`{a} valeurs dans
or x F(x) dérivable sur
donc par composition dérivable sur
Calcul de
'''
' avec
donc '
donc
avec
donc soit
b)
donc
ainsi
d' où
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