1. L’application complexe F correspondant à f est de la forme F(z) = az + b avec et b = 0. C’est donc la similitude plane directe d’angle , de rapport
et de centre le point d’affixe c’est à dire l’origine.
2. a. Un point M' d’affixe z' appartient à si et seulement si il existe un point M de d’affixe z tel que F(z) = z'
c’est à dire .
Alors en tenant compte des indications sur j on a :
Si z' s’écrit , alors
L’équation est bien une équation cartésienne de .
b. Cette dernière équation s’écrit aussi .
est donc une ellipse de centre l’origine.
Ses foyers
et ont pour coordonnées respectives (-c, 0) et (c, 0) avec . Son excentricité est
3. Les foyers et axes de sont les images réciproques des foyers et axes de par la similitude réciproque de f, laquelle a pour centre O, pour angle et pour rapport .
Les graphiques de et de .
1a. Il suffit de l’écrire.
b. Soit k un entier non nul et T = (p, q, r) un triplet d’entiers relatifs tel que r non nul.
2. a. Posons Alors.
et
sont bien des entiers. Ensuite
=
=
Donc
et
Ou bien :
b. Le }triplet est trivial si et seulement si ( c’est à dire et sont perpendiculaires) ou ( c’est à dire
et sont colinéaires donc et sont confondues).
c. Notons et les points associés au triplets et .
Alors
appartient à et il est irréductible.
est aussi un élèment de ; notons
le point associé au triplet .
Alors appartient à et il est irréductible.
Notons et
les points associés au triplets et .
Alors appartient à mais est réductible. Le triplet irr´eductible correspondant est (119, 120, 169).
on obtient d’autres triplets en combinant par exemple et ou et etc...2
1. a) Pour que soit premier, il faut et il suffit qu'il soit non divisible par tout nombre premier dont le carré est inférieur à . Ces nombres sont et aucun d'eux ne divise
b) étant premier, est premier avec tout entier naturel strictement plus petit, en particulier, il est premier avec
Il suffit d'appliquer le petit théorème de Fermat avec et
2. a) Le couple est solution de parce que .
b) Si est une solution de on peut écrire :
Puis en faisant la différence
c'est à dire
Or est premier avec parce que l'équation a une solution (théorème de Bezout).
La relation précédente montre que divise le produit (en parties); comme il est premier avec , il divise (théorème de Gauss).
Donc il existe un entier tel que soit .
La relation devient alors \ie
Ensuite on vérifie que n'importe quel couple du genre est bien une solution de .
L'ensemble des solutions de est
3. On utilisera la propriété suivante : Si et sont des entiers tels que
alors pour tout entier naturel on a :
Posons . Pour tout , et sont les seuls éléments de tels que :
et
Puisque appartient à , dans , on peut remplacer par :
}
Dans utilisons la propriété citée avec :
On obtient alors par transitivité de
a) Reprenons la relation
qui s'écrit aussi :
Cette relation permet d'avoir :
Comme nous le savons déjà . Donc .
Finalement
et entraînent par transitivité :
et sont des éléments de équivalents modulo .
Nous allons monter qu'ils sont égaux.
et sont des éléments de entraîne
signifie il existe un entier tel que .
On déduit de ces deux propriétés que c'est à dire ou .
Le même raisonnement montre que pour tout , on a : .
Nous venons de démontrer que
1.a. Si n=1, la propriété est triviale. Supposons donc .
d'après Bezout
avec
Réciproquement
d'après Bezout
Tous les termes de la somme contiennent le facteur a sauf le premier(correspondant à p=0) qui vaut 1; donc cette somme s'écrit et
avec
d'après Bezout
b. si a et b sont premiers entre eux , alors a est premier avec , d'après le a.
Comme a divise le produit , il divise c, d'après Gausse.
2.a. La fonction est définie sur ,est continue et dérivable et
.
La dérivée est un polynome du second degré en s dont le discriminant réduit est strictement négatif; la dérivé est alors strictement positive sur , cette dernière égalité provenant du fait que et
L'équation f(x) = 0 admet donc une solution réelle unique.
donc la solution réelle de l'équation appartient à ]0,1[, d'après le théorème des valeurs intermédiaires.
b. Si p/q est solution de l'équation , on doit avoir
Cette relation s'écrit
donc p divise et d'après la question précédente, p divise 5.
Cette relation s'écrit aussi
donc q divise et d'après la question précédente, q divise 7.
c. Une éventuelle solution rationnelle de l'équation étant positive", on peut considérer que p et q sont positifs ; alors, les seules valeurs possibles de p sont 1 et 5 et les seules valeurs possibles de q sont 1 et 7. Comme en plus la solution appartient à l'intervallle ] 0,1 [, les seuls candidats solutions sont 1/7 et 5/7.
Un calcul direct montrer alors que l'unique solution rationnelle de l'équation est 5/7
3. Ce qui précède montre que 7x - 5 est un facteur du polynome .
En procédant par idantification ou par division euclidienne, on obtient
les autres solutions de l'équation sont donc celles de .
Le discriminant de cette équation est .
Les solution s complexes de l'équation sont donc et
1. Chacun des entiers qui interviennent dans l'écriture d'un nombre en base doit être strictement inférieur à . Comme l'entier intervient dans l'écriture de , on a
2. a. Les données du problème se traduisent par
A =
B =
C =
La relation signifie alors:
soit
ou
b. La relation se traduit par ; ce qui entraîne que divise , l'autre facteur étant .
c. étant un diviseur de strictement supérieur à vaut nécessairement ou .
Si était égal à , le facteur serait égal à et non à .
On vérifie ensuite que pour on a bien .
3. Faisons les divisions euclidiennes successives:
Le nombre qui s'écrit dans la base à pour écriture dans la base .
Vérification!! On a bien:
4.a. Puisque , les relations deviennent:
A = = 37
B = = 54
C = = 1998
Soit {}
b. On a est premier, .
Donc ppcm .
On en déduit aussi pgcd .
{La propriété pgcd garantit l'existence des solutions de l'équation .}
5. a. donc le couple est bien solution de l'équation .
b. La solution générale de l'équation est
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