Corrigé Epreuve 1999 : Ellipse (04 pts)

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Sciences physiques S2

Physique

Mécanique

c 2017

Terminale L

Corrigé Epreuve 1999 : Ellipse (04 pts)

Détails: Catégorie : COURBES PLANES

$\left( E\right) =\left\{ M\left( z\right) /\left\vert z-1-i\right\vert = \frac{1}{4}\left\vert z+i\bar{z}-8\left( 1-i\right) \right\vert \right\}$

1) a) $z+i\bar{z}-8\left( 1-i\right)$

Soit $z=x+iy$

$z+i\bar{z}-8\left( 1-i\right) =0\Longleftrightarrow x+iy+i\left( x-iy\right) -8\left( 1-i\right) =0$

$\Longleftrightarrow \left( x+y-8\right) +i\left( x+y-8\right)$

$\Longleftrightarrow x+y-8=0$

donc l'ensemble $\left\{ M\left( z\right) /z+i\bar{z}-8\left( 1-i\right) =0\right\}$ est la droite $\left( \Delta \right)$ d'équation $x+y-8=0$

b) $\left\vert z-1-i\right\vert =\frac{1}{4}\left\vert z+i\bar{z}-8\left( 1-i\right) \right\vert$

on a $\left\vert z-1-i\right\vert =MF$ avec $F(1+i)$ $et$ $M(z)$

$\left\vert z+i\bar{z}-8\left( 1+i\right) \right\vert =\left\vert x+y-8+i\left( x+y-8\right) \right\vert$

$=\sqrt{2\left( x+y-8\right) {{}^2} }$

$=\sqrt{2\left\vert x+y-8\right\vert }$

on a $d(M,D)=\frac{\left\vert x+y-8\right\vert }{\sqrt{2}}$

donc (1)

$\Longleftrightarrow MF=\frac{1}{4}\left( 2d\left( M,\Delta \right) \right)$

$\Longleftrightarrow MF=\frac{1}{2}d\left( M,\Delta \right)$

$\Longleftrightarrow \frac{MF}{d\left( M,\Delta \right) }=\frac{1}{2}$

d'où $(E)$ est la conique d'excentricité ${\frac12}$ , de foyer $F(1+i)$ et de directrice d'équation : $x+y-8=0$

2) a) $(D)$ axe focal de $(E)$

on a $F\in (D)$ et $(D)$ perpendiculaire à $\left( \Delta \right)$ donc
$\overrightarrow{u}\left( 1,1\right)$ est un vecteur directeur de $(D)$

(D) a une équation de la forme $y=x+b$ comme $F(1,1)$ $(D)$ on a $b=0$
d'où $(D)$ d'équation $y=x$

b) $A(2+2i)$ , $A\prime (-2-2i)$ soit $z_{A}=2+2i$ , $z_{A^{\prime }}=-2-2i$

Montrons que $A\in \left( E\right)$ $et$ $A^{\prime }\in \left( E\right)$

On a $\left\vert z_{A}-1-i\right\vert =\left\vert 2+2i-1-i\right\vert =\left\vert 1+i\right\vert =\sqrt{2}$

$\frac{1}{4}\left\vert z_{A}+i\bar{z}_{A}-8\left( 1+i\right) \right\vert = \frac{1}{4}\left\vert 4+4i\right\vert =\left\vert 1+i\right\vert =\sqrt{2}$

donc $A$ $\in \left( E\right)$ car $z_{A}$ vérifie $\left( E\right)$

$\left\vert z_{A}-1-i\right\vert =\left\vert 2+2i-1-i\right\vert =\left\vert -3-3i\right\vert =3\left\vert 1+i\right\vert$

$\frac{1}{4}\left\vert z_{A}+i\bar{z}_{A}-8\left( 1+i\right) \right\vert = \frac{1}{4}\left\vert -2-2i-2-8-8i\right\vert =\frac{1}{4}\left\vert -12-12i\right\vert =3\left\vert 1+i\right\vert$

$\Longrightarrow z_{A^{\prime }}$ vérifie $(E)$ $\Longrightarrow A^{\prime }\in (E)$

D'autre part , $A\in \left( D\right)$ et $A^{\prime }\in \left( D\right)$
d'où $A$ et $A\prime$ des sommets de $(E)$

Soit B et $B\prime$ les sommets situés sur l'axe non focal $(D\prime )$ on a $BF=\frac{1}{2}d\left( D^{\prime },\Delta \right) \Longrightarrow B\in$ au cercle de centre $F$ et de rayon $\frac{1}{2}d\left( D^{\prime },D\right)$ et $B\in D^{\prime }$ . $B\prime$ vérifie la même chose