Corrigé Epreuve 1998 : Fonction

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Reproduction des mammifères

Corrigé 1999 Exploitation de documents : Régulation du taux des hormones (5 pts)

Terminale L

Corrigé Epreuve 1998 : Fonction

Détails: Catégorie : Analyse

On considère la fonction numérique d'une variable réelle
définie par:

$f(x)=x-2+\ln(\frac{x-2}{x+2})$

1) Etude du signe de $\frac{x-2}{x+2}$

On a $\frac{x-2}{x+2}\succ0$ sur $\left] -\infty,-2\right[ \cup\left] 2,+\infty\right[$ et $\frac{x-2}{x+2}\prec0$ sur $\left] -2,2\right[$

On en déduit le domaine de définition de f:

f est définie si $\frac{x-2}{x+2}\succ0,donc$ df= $\left] -\infty ,-2\right[ \cup\left] 2,+\infty\right[$

2) On pose u(x)= $\frac{x-2}{x+2}$ , v(x)= $\ln(\frac{x-2}{x+2}).$

On a u $\prime(x)=\frac{(x+2)-(x-2)}{(x+2)^{2}}=\frac{4}{(x+2)^{2\ }}$

v $\prime(x)=\frac{\frac{4}{(x+2)^{2\ }}}{\frac{x-2}{x+2}}=\frac {4}{(x-2)(x+2)}$

f $\prime(x)=1+\frac{4}{(x-2)(x+2)}=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}$

3) Limites de f aux bornes de df.

$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to -\infty}(x-2+ln(\frac{x-2}{x+2}) =-\infty$

car $\lim\limits_{x \to -\infty}(x-2)=-\infty$

et $\lim\limits_{x \to -\infty}ln(\frac{x-2}{x+2})=0$

$\lim\limits_{x \to -2^{-\ }}f(x)=\lim\limits_{x \to -2^{-\ }}x-2+\ln(\frac{x-2}{x+2}) =+\infty$

car $\lim\limits_{x \to -2^{-\ }}(x-2)=-4$

et $\lim\limits_{x \to -2^{-\ }}ln(\frac{x-2}{x+2})=+\infty$

$\lim\limits_{x \to -2^{+ }}f(x)=\lim\limits_{x \to -2^{+ }}(x-2+\ln(\frac{x-2}{x+2}) =-\infty$

car $\lim\limits_{x \to -2^{+ }}(x-2)=0$

et $\lim\limits_{x \to -2^{+ }}ln(\frac{x-2}{x+2})=-\infty$

$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}(x-2+\ln(\frac{x-2}{x+2}) =+\infty$

car $\lim\limits_{x \to +\infty}(x-2)=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}ln(\frac{x-2}{x+2})=0$

Tableau de variations de f:

4) On a $\lim\limits_{x \to \infty}\left[ f(x)-(x-2)\right] =\lim\limits_{x \to -\infty}ln(\frac{x-2}{x+2})=0,$

donc la droite d'équation $y=x-2$ est asymptote à ( $Cf$ ) la courbe
représentative de f.

5) $\Omega(0,2)$ est centre de symétrie pour ( $Cf$ ) si $f(2\times 0-x)+f(x)=2\times2$

$f(2\times0-x)+f(x)=f(-x)+f(x)=-x-2+\ln(\frac{-x-2}{-x+2})+x-2+\ln(\frac {x-2}{x+2})=4$

donc $\Omega(0,-2)$ est centre de symétrie pour ( $Cf$ )

6) Tracer ( $Cf$ ) et les asymptotes

$f(x)=x-2+\ln(\frac{x-2}{x+2}),$ $y=x-2,$ $x=-2,$ $x=2$

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