Corrigé 2018 : Fonction numérique

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Corrigé : 2004: Utilisation du calcul intégral dans les suites

Terminale L

Corrigé 2018 : Fonction numérique

Détails: Catégorie : Analyse

$f(x)=\frac{x^2}{x^2+2x-3}$

1)

$\begin{array}{lll}Df&=&\mathbb{R}\{1 ;-3\}\\\\&=&]-\infty ; -3[U]-3 ; 1[u]1 ; +\infty [\end{array}$

2) $\lim_{x\to - \infty}f(x)=1$ $\lim_{x\to + \infty}f(x)=1$

$\lim_{x\to - 3^-}f(x)=+ \infty$ $\lim_{x\to - 1^-}f(x)=- \infty (2)$

$\lim_{x\to - 3^+}f(x)=- \infty$ $\lim_{x\to - 1^+}f(x)=+\infty$

3)

$\begin{tabular}{lll}D : y&=&1\;asymptote\;horizontale\\\\D' : x&=& -3\;asymptote\;verticale\\\\D'' : x &= &1\;asymptote\;verticale\end{tabular}$

4)

$f'(x)=\frac{2x(x^2+2x-3)-x^2(2x+2)}{(x^2+2x-3)^2}$

$=\frac{2x^3+4x^2-6x-2x^3-2x^2)}{(x^2+2x-3)^2}$

$=\frac{2x^2-6x}{(x^2+2x-3)^2}$

5) $f'(x)>0\;si\;x\in]-\infty,\;0[U]3,\; +\infty[$

$f'(x)<0\;si\;x\in]0, 1[U]1,3$

6)

$\begin{array}{lll}T : y&=&f'\frac{3}{2}(x-\frac{3}{2})+f(\frac{3}{2})\\\\&=&-2(x-\frac{3}{2})+1\\\\&=&-2x+3+1\\\\T\; :y&=&-2x+4\end{array}$

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