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Terminale L

Corrigé 2018 : Fonction : Calcul Intégral

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Catégorie : Analyse

 

h(x)=\frac{2e^x+1}{e^x+1}

 

1) h(x) existe si e^x+1\neq 0 ou e^x+1\neq 0\forall x\in\mathbb{R}

 

donc Dh=\mathbb{R}

 

2) h(x)=\frac{1+e^x}{1+e^x} ?  on a h(x)=\frac{1+e^x}{1+e^x} =\frac{1+e^x+e^^x}{1+e^x} = \frac{2e^x+1}{e^x+1}=he^x

 

donc \forall x \in\mathbb{R},\; h(x)=1+\frac{e^x}{e^x+1}

 

3) Soit k(x)=x+ln(e^x+1)

 

k est définie et dérivable sur \mathbb{R}

 

ou \propto k'(x)=1+\frac{e^x}{1+e^x}=h(x)

 

4)

\begin{array}{lll}I=\int^2_0h(x)\;dx&=&\int^2_0\left(1+\frac{e^x}{1+e^x}\right)dx\\\\&=&k(x)]^2_0\\\\&=&k(2)-k(0)\\\\&=&2+ln(e^2+1)-ln2\\\\&=&2+ln\left(\frac{e^2+1}{2}\right)\end{array}

 

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