PARTIE A.
1. Soit or et
donc
En conclusion
2.
(a) continue sur ,
d’où (1 - ln x) est continue sur ]0; +8[ par somme.
or est continue sur d’où par produit est continue sur .
(b)
est dérivable sur , donc elles est dérivable sur
et est dérivable sur par produit,
donc K est dérivable sur par somme.
Calcul de K'(x)
d'où k'(x)=k(x)
PARTIE B.
Soit f(x) = (1)
1. si alors existe t si x > 0 alors xlnx exite d'où
f(x) existe sssi
,
or
d'où
2.(a) f est définie en 0 car dans et est définie en 0 et prend la valeur 0 on a alors f(x) = 0
et ,
d'où
Ainsi f est continue en 0
(b) d'après la partie A.
Donc f n’est pas dérivable en 0 car ne l’étant pas en 0 à droite.
Interprétation graphique : La courbe représentative de f, ,
admet au point d’abscisse 0 une demi-tangente d’équation x = 0
à gauche et une demi-tangente d’équation y = 0 à droite.
3. et sont continues sur
donc sur ,
continue sur par produit et f est continue en 0, donc f est continue sur .
et sont dérivables sur donc sur ,
dérivable sur [ par produit
donc f est dérivable sur .
4. Pour or si x < 0 alors
d'où f'(x) < 0 pour x< 0.
Pour x>0, or si et
si
d'où pour et pour
5. Dressons son tableau de variations.
6. d'où
donc est asymptote à au voisinage de .
7. donc admet une branche infinie au voisinage de or
donc admet une branche parabolique de direction (y'0y)au voisinage de
8. Traçons la courbe de f dans un repère orthonormé d'unité graphique 2 cm
9. Soit h la restriction de f à .
Dressons le tableau de variation de h.
h est continue et strictement croissante sur donc elle est bijective. Elle réaliseune bijection de vers d'après le tableau de variations de f.
(b) Pour la courbe de ,bijection réciproque de h, voir figure.
10. (a) Ce domaine est l'endemble des points M(x,y) tels que
et On a donc :
d'après la PARTIE A.
(b) Ce domaine est le symétrique, par rapport à la première bissectrice, du domaine d'aire de la question 10)a) d'où
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