(E) : y' + y = 0 et (E) y' + y = e
cos x
a) Trouver les réels a et b pour que h soit solution de (E)
avec h(x)=(a cos x + b sin x)e
h'(x) = (-a sin x + b cos x)e -(a cos x + b sin x)e
h'(x) + h(x) = ecos x, h(x) étant solution de (E)
(b - a)cosx e
- (a + b)sin x e
+(a cos x + b sin x)e
=e
cos x (b-a) cosx - (a+b)sin x +a cosx + b sin x = cos x
b) cosx - a sin x = cosx
(b-1) cosx - a sin x = 0 en particulier pour 0 et
b - 1 = 0 et a = 0
b = 1 et a = 0
d'où a = 0 et b= 1
b) Démontrer que f est solution de (E) si et seulement si f - h est solution de (E)
Supposons f solution de (E)
on a f'(x) + f(x) = ecos x or h'(x) + h (x) = e
cos x
f'(x) + f(x) = h'(x) + h(x)
(f-h)'(x)+(f-h)(x)=0
(f-h) est solution de (E
)
Supposons que (f-h) soit solution de (E)
(f-h)'(x)+(f-h)(x)=0
f'(x)-h'(x)+f(x)-h(x)=0
f'(x)+ f(x)= h'(x)+ h(x)= e
cos x
f'(x)+ f(x)= e
cos x
f solution de (E)
c) Résoudre (E)
(E) : y' + y = 0 équation différentielle linéaire du 1
ordre à coefficients constants
L'intégrale générale de cette équation est y(x) = Ce
d) En déduire la solution générale de (E)
on a f est solution de (E) ssi f-h est solution de E
on pose f-h = y(x)= C e
donc f(x)=h(x) + C e
f(x)=(a cos x + b sin x)e + C e
=(a cos x +b sin x + C)e
d'où la solution générale de (E) est
f(x)=(a cos x + b sin x + C)e
e) Déterminer la solution g de (E) telle que g(0)= 0
on a f(0)=0 a+c = 0
a = -c
g(x)=(a cos x + b sin x - a)e
2) (x)= e
sin x
est continue et dérivable sur [0,2
]
or
ou
insérer tableau variation
c) Calculer
u=-e v'=sin x
u'=e v =cos x
u= e v'= cos x
u'= - e v = sin x
= I
donc
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