A) 1. Soit z un nombre complexe non nul donné.
– L’écriture algébrique de z est de la forme : z = a+ib, avec a sa partie réelle et b sa partie imaginaire,
– L’écriture exponentielle de z est de la forme : , avec r son module et un de ses arguments,
– L’écriture trigonométrique de z est de la forme : , avec r son module et
un de ses arguments,
2. Soient et
et soit r la rotation de centre
qui transforme M(z) en
on a :
(1)
ce qui est équivalent à
(2)
D'où
B) Soit
1. Ecriture trigonométrique de
On a ,
Soit un argument de
alors
et
ce qui donne
d'où
2. Calculons
D'où
3. Résolvons l'équation
implique
et
ce qui donne
et
d'où l'ensemble des solutions S de l'équation est
4. Déduisons-en les solutions de léquation (E):
est équivalent à
ce qui est équivalent, d’après B)2), à
Ce qui donne d'après B)3 les solutions suivantes :
- Sous forme algégrique :
– Sous forme trigonométrique :
et
5.
6. Soit r la rotation de centre O d’angle
D’après A)2) si M'(z') est l’image de M(z) par r alors
7. Soient les points A;B;C et D d’a?xes respectives
Vérifions que r(A) = C :
d’où r(A) = C:
Vérifions que r(C)=B
d'où r(C)=B
Vérifions que r(B)=D
d'où r(B)=D
8.
D'où
,
Ce qui est équivalent à
D’où A,B,C et D sont sur le même cercle (C) de centre O et de rayon 2.
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