1. Soit M un point du plan.pan
Faisons intervenir les barycentre et des systèmes et respectives.
Alors
E est donc le cercle de diamètre
L'ensemble F est l'arc capable d par les points A, B et l'angle . Soit T l'unique demi droite d'origine telle que pour tout point P de T, on a :
signons par H l'intersection de la médiatrice de [ AB] avec la perpendiculaire à T passant par A et
par C le cercle de centre H et de rayon HA . Alors est l'arc de C mit A et B tel que F et T se trouvent dans des demi plans distincts de frontière (AB).
3.a) D étant l'image de B par l'hométhétie de centre A et de rapport , .
On en déduit que .
C étant l'image de B par la rotation de centre A et d'angle on a AC = AB et
Dans le tableau suivant les points de la deuxième ligne sont les image s par s des points de la première ligne.
Le rapport de s est est son angle est modulo :
Le rapport est de et son angle est
b) On a aussi = rapport de s c'est à dire = 4 ou I appartient à
Puis = angle de s c'est à dire ou I appartient .
I est donc le seul point d'intersection de et de On a encore = angle de s c'est à dire
On a encore = angle de s c'est à diere
D'autre part = - angle de s c'est à dire
On en déduit en faisant la différence c'est à dire
Donc les point I,A,C et D sont cocycliques, autrement dit I appartient au cercle circonscrit au triangle ACD.
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