1. étant le symétrique de
par rapport à
on a
, le point
est donc sur
; et comme la droite
est perpendiculaire à
,
est un sommet de
.
Soit le milieu du segment
. Les points
et
appartiennent à une même perpendiculaire à
.
Un point est un sommet de
ssi il appartient à l'axe focal i.e à la droite
et
.
Cette dernière relation signifie que ou
.
Les deux vecteurs et
sont donc orthogonaux et puisqu'ils sont colinéaires, un de ces deux vecteurs est nul (et l'autre non nul).
Comme , on doit avoir
; donc
Par conséquent
Le point est le milieu du segment
La construction des asymptotes n'est pas demandée. (Leur réunion a pour équation dans le repère de l'exercice avec
)
2.a. Un point du plan d'affixe
appartient à
si et seulement si
c'est à dire
ou
Un point du plan d'affixe
appartient à
si et seulement si
c'est à dire
ou
.
Finalement appartient à
ssi
.
b. Un point du plan d'affixe
appartient à
ssi
Dans la première relation, tirons en fonction de
, mettons cette valeur dans la deuxième relation, multiplions par
et développons; alors
appartient à
ssi
Puisque le point dont l'affixe est
appartient à
,
est solution de chacune des deux équations. On peut donc mettre
en facteur dans le polynôme
comme le suggère la question posée.
En procédant par identification ou par division euclidienne, on trouve par conséquent
On peut donc prendre
c. Puisque et
est une solution de l'équation
.
L'équation est équivalente à
soit
.
Cette équation a donc trois solutions : et
et comme pour tout , les trois complexes
sont bien solutions du système.
Pour montrer que les points ayant pour affixes les
forment un triangle équilatéral il suffit de vérifier que
ou
Remarque 1.
1. Lorsque l'on prend comme origine l'intersection de
et de
, alors
ou
et
est confondu avec l'un des
2. Les trois complexes vérifient
et
avec
.
et
étant les points d'affixes respectives
, le triangle
est l'image du triangle
par la similitude de centre
de rapport
et d'angle
Puisque le triangle est équilatéral, il en est de même du triangle
.
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