1.a. Le point est tel que
.
Donc le point est entièrement défini par la relation
;
est tel que
soit un parallélogramme.
Le point est tel que
.
Donc le point est entièrement défini par la relation
;
est tel que
soit un parallélogramme.
La droite est une droite des milieux pour le triangle
, donc
a même nature que
:
est équilatéral direct
La droite est la médiatrice du segment
parce que le triangle
est équlatérale. Donc, puisque
est le milieu de
, l'image
du triangle équilatérale direct
par la symétrie orthogonale d'axe
est un triangle équilatérale indirect.
est la rotation de centre
et d'angle
. Donc
.
Ensuite, .
On sait que est une rotation de même angle que
=
.
La relation et
est équilatéral direct entraîne que le centre de
est
.
est la rotation de centre
et d'angle
On en déduit, puisque que {le triangle
est équilatéral direct}.
2. Antécédent
Image par
a. L'angle de est
L'angle de
est
Le rapport de est
. Or
. Donc le rapport de
est
.
On a angle de
.
rapport de
.
Les trois conditions:
suffisent pour dire que
b. Puisque les similitudes planes directes conservent les angles, on peut lire dans le tableau précédent que:
angle de =
.
Or parce que le point
appartient au segment
.
Donc
et comme les quatre points et
ne sont pas alignés, ils sont cocycliques.
De même = angle de
=
.
D'un autre côté, la droite étant la bissectice du triangle équilatérale indirect
, l'angle
vaut
.
On en déduit que puis que les points
et
sont cocycliques
En résumé, le point appartient à l'intersection des deux cercles
et
; où
est le cercle contenant les points
et
et
le cercle contenant les points
et
.
De plus le point est différent de
parce que
est fixé par
et
non.
Ces conditions définissent parfaitement le point
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