Corrigé 2018 :

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Algèbre

Terminale L

Corrigé 2018 :

Détails: Catégorie : Mécanique

3.1 Représentation des forces :

3.2 Equation différentielle… :

$T.C.I\Rightarrow\; \vec{P}+\vec{F}+\vec{f}=m\vec{a}\Rightarrow$

En projetant suivant l’axe (ox) : $P-F-f=ma\Rightarrow mg-\frac{4\pi r^3\mu}{3}-KV=m\frac{dv}{dt}\Rightarrow\frac{dv}{dt}+\frac{k}{m}v=g\left(1-\frac{4\pi r^3\mu}{3m}\right)$

3.3 En début de chute (t=0) on a f = 0 et P > F, la bille tombe, la vitesse croit et f croit. A un instant donné le poids $\vec{P}$ est compensé par la somme vectorielle des forces $\vec{F}+\vec{f}\Rightarrow \sum\vec{F}=\vec{O}\Rightarrow \vec{a}=\vec{O}\Rightarrow \vec{V}=\vec{cte}$ : la vitesse atteint alors une valeur limite $V_L$ .

Expression de la vitesse limite $V_L$ :

Lorsque la vitesse limite est atteinte on a $V=cst\Rightarrow\frac{dv}{dt}=0\Rightarrow 0 + \frac{K}{m}V=g\left(1-\frac{4\pi r^3\mu}{3m}\right)\Rightarrow$

$V=\frac{mg}{k}\left(1-\frac{4\pi r^3\mu}{3m}\right)\quad\quad V_L=\frac{mg}{k}\left(1-\frac{4\pi r^3\mu}{3m}\right)$

Déduction de k :

$V_L=\frac{mg}{k}\left(1-\frac{4\pi r^3\mu}{3m}\right)\Rightarrow k=\frac{mg}{k}\left(1-\frac{4\pi r^3\mu}{3m}\right)=\frac{1,4\times 9,8}{24}\left(1-\frac{4\pi(0,035)^3\times 860}{3\times 1,4}\right)=$

$0,51\;kg.s^{-1}$

3.4 Expressions de A et B

$La\;solution\;est\;V=A+Be^{-\frac{k}{m}t}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} t=0,V=V_0\Rightarrow V_0=A+B\\\\ t\to\infty V=V_L\Rightarrow V_L=A\Rightarrow B=V_O-V_L\end{array}\right.\Rightarrow$

$\left\{\begin{array}{lllll}B&=&V_0&-&_L\\\\A&=&V_L&&\end{array}\right.$

Expression de la vitesse : $V=A+Be^{-\frac{k}{m}t}=(V_0-V_L)e^{-\frac{k}{m}t}+V_L$

3.5 Loi horaire x(t) :

$V=\frac{dx}{dt}\Rightarrow x=\int\;Vdt=B\frac{m}{k}\left[1-e^{-\frac{k}{m}t}\right]+A.t$

$x=(V_0-V_L)\frac{m}{K}\left[1-e^{-\frac{k}{m}t}\right]+V_L.t.$

3.6 Bilan des travaux des forces

On applique le théorème de l’énergie cinétique entre t = 0 et t = 10 s

$\Delta E_C=\sum W^{\vec{F_{ext}}}\Rightarrow\frac{1}{2}mV^2_f-\frac{1}{2}mV^2_f=\sum W^{\vec{F_{ext}}}$

$V_i=V_0=2 m.s^{-1}\quad et V_f=(2-24)e^{-\frac{0,51}{1,4}\times 10}+24\Rightarrow 23,42\; m.s^{-1}$

$\sum W^{\vec{F}_{ext}}=\frac{1}{2}\times 1,4\times(23,42^2-2^2)=272\,J\quad\quad \sum W^{\vec{F}_{ext}}=272\,J$

Travail de la force de viscosité : $W^{\vec{f}}=W^{\vec{F}_{ext}}-W^{\vec{P}}-W^{\vec{F}$

$W^{\vec{P}}=P\times x\;et\;W^{\vec{F}}=-F\times x\quad à\, t\;=10\,s\quad x=181,2\,m.$

$W^{\vec{f}}=272-1,4\times 9,8\times 181,2+\frac{4\pi(0,035)^3\times 860}{3}\times 9,8\times 181,2=-1940\;J$

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