c 2017

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Sciences physiques S2

Physique

Mécanique

c 2017

Terminale L

c 2017

Détails: Catégorie : Mécanique

3.1.
3.1.1. Bilan des forces :

$\vec{P}\,(poids)$ et $\vec{R}(r\'{e}action)$ .

3.1.2. TCI : $\vec{P}+\vec{R}=m\vec{a}$

Projetons suivant la normale : $P_N+R_N=ma_n\Rightarrow$

$m.g.sin\theta-R=ma_n$ or

$an=\frac{V^2}{r}\Rightarrow$

$R=m(g.sin\theta-\frac{V^2}{r}$

3.1.3. $T.E.C\Rightarrow E_{c(M)}-E_{c(M_0)}=W_{\vec{P}}+W_{\vec{R}}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}mV^2=mgh\quad avec\quad h\,=\,r(1-sin\theta)$

$\Rightarrow \frac{1}{2}mV^2=mgr(1-sin\theta)$

$\Rightarrow V^2=2.g.r(1-sin\theta)$

3.1.4. Lorsque le mobile quitte la piste en $M_1\, :\, \theta =\theta_1\, ;\, V\,=\,V_1\, et\, R\,=\, 0\Rightarrow m\left(g.sin\theta-\frac{V^2}{r}\right)=0\Rightarrow$

$\Rightarrow g.sin\theta_1-\frac{V^2_1}{r}=0\Rightarrow V^2_1\,=\,g.r.sin\theta_1\,=\, 2.g.r(1-sin\theta_1)\Rightarrow sin\theta_1=\frac{2}{3}\Rightarrow \theta_1\, =\,41,8^{\circ}$ .

Expression de $V_1\,:\,V_1^2=g.r.sin\theta_1\,=\,g.r.\frac{2}{3}\Rightarrow V_1=\sqrt{\frac{2}{3}g.r}$

3.2.
3.2.1. Expression des composantes de $\vec{V_1}$

$\vec{V_1}\left\{\begin{array}{lll}V_{1x}&=&V_1.sin\theta_1\\\\V_{1y}&=&-V_1.cos\theta_1\end{array}\right.$

3.2.2. Equations horaires : TCI : $\vec{P}=m\vec{a}\Rightarrow m\vec{a}=m\vec{g}\Rightarrow \vec{a}=\vec{g}\Rightarrow \vec{a}\left\{\begin{array}{lll}a_x&=&0\\\\a_y&=&-g\end{array}\right.\vec{V}\left\{\begin{array}{lll}V_x&=&V_1.sin\theta_1\\\\V_y&=&-gt-V_1.cos\theta_1\end{array}\right.$

$\Rightarrow\overrightarrow{OM}\left\{\begin{array}{lll}x&=&V_1.sin\theta_1.t+r.cos\theta_1\\\\y&=&-\frac{1}{2}.g.t^2-V_1.cos\theta_1.t+r.sin\theta_1\end{array}\right.$

Equation de la trajectoire est :

$y=-\frac{g}{2(V_1.sin\theta_1)}.(x-r.cos\theta_1)^2-\frac{x-r.cos\theta_1}{tan\theta_1}+r.sin\theta_1.$

3.2.3. Expression de OH : au point H on a y = 0

$-\frac{g}{2(V_1.sin\theta_1)^2}.(x-r.cos\theta_1)^2-\frac{(x-r.cos\theta_1)}{tan\theta_1}+r.sin\theta_1=0$

Posons $u=(x-r.cos\theta_1)\Rightarrow -\frac{g}{2(V_1.sin\theta_1)^2}.u^2-\frac{u} {tan\theta_1}+r.sin\theta_1=0$

$\Delta=\frac{1}{(tan\theta_1)^2}+\frac{4gr}{2V^2_1.sin\theta_1}=\frac{1}{(tan\theta_1)^2}+\frac{2gr}{\frac{1}{2}g.r.sin\theta_1}=\frac{1}{(tan\theta_1)^2}+\frac{3}{sin\theta_1}=\frac{1}{(tan\theta_1)^2}+\frac{9}{2}\Rightarrow$

$\left\{\begin{array}{lllll}u_1&=&\frac{\frac{1}{tan\theta_1}-\sqrt{\Delta}}{-\frac{g}{(V_1.sin\theta_1)^2}}&>&0\\\\u_2&=&\frac{\frac{1}{tan\theta_1}+\sqrt{\Delta}}{-\frac{g}{(V_1.sin\theta_1)^2}}&<&0\end{array}\right\}.u_1=\frac{(V_1.sin\theta_1)^2\left(\sqrt{\Delta}-\frac{1}{tan\theta_1}\right)}{g}=\frac{\frac{2}{3}gr.\frac{4}{9}\left(\sqrt{\Delta}-\frac{1}{tan\theta_1}\right)}{g}$

$u_1=\frac{8}{27}r\left(\sqrt{\Delta}-\frac{1}{tan\theta_1}\right)=\,0,379.r$

or $u\,=\,(x-r.cos\theta_1)\Rightarrow x\,=\,u+r.cos\theta_1\,=\,0,379.r+r.cos41,8^{\circ}\Rightarrow x\,=\,1,12.r$

Expression de la distance OH en fonction de r : OH = 1,12.r

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