Corrigé 2014 : Détermination de longueurs d'onde

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Corrigé 2014 : Détermination de longueurs d'onde

Détails: Catégorie : Interférences lumineuses

4.1. : Schéma du dispositif

4.2. Vibrations de $S_1$ et $S_2$ : $Y_{01} = Y_{02} = S_{0}sin\omega t$

4.2.1. Expression des vibrations au point M de l’écran.
Les vibrations en M accusent par rapport aux vibrations
de $S_1$ et $S_2$ un retard respectif de : $\left\{\begin{array}{l}t_{1}=\frac{d_{1}}{c}\\t_{2}=\frac{d_{2}}{c}\end{array}\right.$

Vibration issue de $S_{1}\rightarrow Y_{1}(M)=S_{0}sin\omega (t-\frac{d_{1}}{c})$

Vibration issue de $S_{2}\rightarrow Y_{2}(M)=S_{0}sin\omega (t-\frac{d_{2}}{c})$

4.2.2. Le coefficient $2S_{0}cos(\frac{\pi\delta}{\lambda})$ est l’amplitude de la vibration Y ; cela correspond à la valeur maximale de
Y au point considéré.

4.2.3.

a) L’intensité lumineuse E s’écrit : $E = CA^{2}= C × 4S_{0}^{2}cos^{2}( \frac{\pi\delta}{\lambda})$

or $cos^{2}x=\frac{1+cos 2x}{2}\rightarrow cos^{2}( \frac{\pi\delta}{\lambda})=\frac{1+cos\frac{2\pi\delta}{\lambda}}{2}\rightarrow 2cos^{2}( \frac{\pi\delta}{\lambda})=1+cos\frac{2\pi}{\lambda}\frac{ax}{D}=1+cos\frac{2\pi x}{i}$

avec $i=\frac{\lambda D}{a}$ d'où $E=2S_{0}^{2}C(1+cos\frac{2\pi x}{i})\rightarrow E=E_{0}+(1+cos\frac{2\pi x}{i})$ avec $E_{0}=2S_{0}^{2}C$

b) Les valeurs de E et la courbe E(x)=f(x) :

c) Du graphe on déduit :

• abscisses des points où l’éclairement est maximal dans l’intervalle considéré : x = {-i ; 0 ; i ; …}

• abscisses des points où l’éclairement est nul dans l’intervalle considéré : $x = \{{-\frac{i}{2} ; \frac{i}{2} ;\ … \}$

• distance séparant deux franges consécutives de même nature $d = x_{n+1} - x_{n} = i$

4.3.
4.3.1

$d=10i,\rightarrow d=10\lambda_{1}\frac{D}{a}\rightarrow \lambda_{1}=\frac{ad}{10D}$

A.N : $\lambda_{1}= 4,8.10^{-7}m=480 nm$

On mesure la distance correspondant à 10 interfranges au lieu de celle qui correspond à 1 interfrange pour avoir une détermination plus précise de l’interfrange. L’erreur de mesure est amoindrie.

4.3.2.
Pour la lumière de longueur d’onde $\lambda_{1}$ , au point considéré on a : $x_{a} = k\lambda_{1}$ avec k = 2

Pour la lumière de longueur d’onde $\lambda_{1}$ , , au point considéré on a : $x_{b} = (2k\prime +1)\frac{\lambda}{2}$ avec k’ = 1

$x_{a}=x_{b}\rightarrow \frac{3}{2}\lambda_{1}=2\lambda_{2}\rightarrow \lambda_{2}=\frac{4}{3}\lambda_{1}\rightarrow \lambda_{2}=640nm$

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