Corrigé 2018 :

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Terminale L

Corrigé 2018 :

Détails: Catégorie : Electromagnétisme

4.1.1 Relation entres les tensions instantanées

$u_G-u_c-u_R=0$

Equation différentielle relative à $u_c$ :

$u_G-u_c-u_R=0\Rightarrow E-R_{1.}i-u_c=0\Rightarrow R_{1.}i+u_c=E$

or $i=\frac{dq}{dt}=C\frac{du_c}{dt}\Rightarrow R_1C\frac{du_c}{dt}+u_c=E\Rightarrow \frac{du_c}{dt}+\frac{1}{R_1C}u_c=\frac{E}{R_1C}$

4.1.2 Vérifions que $u_c=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$ est solution :

$\frac{du_c}{dt}=\frac{E}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}\Rightarrow \frac{du_c}{dt}+\frac{1}{R_1C}u_c=\frac{E}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}+\frac{1}{R_1c}E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)=\left(\frac{E}{\tau}-\frac{E}{R_1c}\right)e^{-\frac{t}{\tau}}+\frac{E}{R_1c}=\frac{E}{R_1c}$ .

Signification de $\tau$ :

$\tau$ est la durée au bout de laquelle la tension aux bornes du condensateur atteint 63% de sa valeur en fin de charge. C’est la constante de temps du circuit.

Valeur de $\tau$ : $\tau=R_1C=1000\times 10^{-6}=10^{-3}s=1\,ms.\quad\quad \tau=1\,ms$

4.1.3 Expression de l’intensité du courant $I_0=\frac{da}{dt}t=0=C\frac{du_c}{dt}t=0=\frac{E}{R_1}\quad A.N : \; I_0\frac{4}{1000}=4m4$

4.1.4 Puissance instantanée fournie par le générateur : $P(G)=E.i(t)$

$i=\frac{dq}{dt}=\frac{du_c}{dt}\Rightarrow\;i=\frac{E}{R_1}e^{-\frac{t}{\tau}}\quad\quad(G)=E.i(t)=\frac{E^2}{R_1}e^{-\frac{t}{\tau}}$

Puissance instantanée reçue par le condensateur : $P(C)U_c.i(t)$

$u_c=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\quad et\; i=\frac{E}{R_1}e^{-\frac{t}{\tau}}\quad\quad P(C)=\frac{E^2}{R^1}\left(e^{-\frac{t}{\tau}-e^{-2\frac{t}{\tau}\right)$

4.1.5 Energie emmagasinée dans le condensateur :

$\sum(c)=\int^t_0P_c(t).dt=\int^{xt}_0\frac{E^2}{R_1}\left(e^{-\frac{t}{\tau}}-e^{-2\frac{t}{\tau}}\right).dt$

On obtient : $\sum=\frac{E^2\tau}{2R_1}(1-e^{-x})^2$ en développant

Energie fournie par le générateur : $\sum(G)=\int^t_0P_G(t).dt=\int^^{xt}_0\frac{E^2}{R_1}e^{-\frac{t}{\tau}}dt=\frac{E^2\tau}{R_1}(1-e^{-x})$

Le rapport entre les énergies : $\frac{\sum(c)}{\sum(G)}=\frac{\frac{E^2\tau}{R_1}(1-e^{-x})^2}{\frac{E^2\tau}{R_1}(1-e^{-x})}=\frac{1-e^{-x}}{2}$

4.1.6 Tableau complété :

4.1.7 A la fin de la charge, seulement 50% de l’énergie fournie par le générateur est reçue par le condensateur donc l’énergie fournie par le générateur n’est pas reçue intégralement par le condensateur : il y a dissipation de l’énergie sous forme calorifique au niveau du conducteur ohmique.

4.1.8 La quantité de chaleur dégagée par effet joule au cours de la charge du condensateur :

$\sum(G)=\sum(c)+\sum(R)\Rightarrow \sum(R)=\sum(G)-\sum(c)$ or à la fin de la charge ? $\frac{\sum(c)}{\sum(G)}=0,5\Rightarrow$

$\sum(R)=\frac{\sum(G)}{2}=\frac{E^2\tau}{2R_1}=\frac{R_1CE^2}{2R_1}=\frac{CE^2}{2}$ $\sum(R)=\frac{1}{2}\times 1.10^{-6}\times 4^2=8.10^{-6}J\quad\quad$ $\sum(R)=8.10^{-6}J$

4.2.1 Branchement de l’oscilloscope :

4.2.2 courbe 1 : $U_{AM}$ , tension aux bornes du condensateur. Initialement chargé, la tension à ses bornes est non nulle.

Courbe 2 : $U_{BM}$ , tension aux bornes du conducteur ohmique car à t= o la tension à ses bornes est nulle.

4.2.3 Les courbes sont amorties parce qu’il y a dissipation d’énergie par effet joule.

La courbe (2) montre les variations de l’intensité du courant car celle-ci est proportionnelle à la tension aux bornes du résistor $(U_{BM}=R_2i)$

4.2.4 Energie restante dans le circuit à la date t=2ms.

A t = 2 ms $U_{BM}=R_2i=0\;et\; U_{AM}=-1,5V\quad soit\; E=E_C=\frac{1}{2}CU_{AM^2}=5,6.10^{-7}$ ${E_{restante}(t=2ms)=5,6.10^{-7}$

$E_{c(0)}=\frac{1}{2}CU_0^2=8.10^{-6}J\Rightarrow \frac{E_{restante}}{E_{c(0)}}\quad A\,t=2ms$ 0,07

l’essentiel de l’énergie initialement emmagasinée dans le condensateur est dissipée par effet joule.

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