Corrigé 2015 :

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Corrigé : 2004: Utilisation du calcul intégral dans les suites

Terminale L

Corrigé 2015 :

Détails: Catégorie : Electromagnétisme

4.1.1 L’expression de l’intensité i(t) : $i=\frac{dq}{dt}$ or $q=Cu_{c}\Rightarrow i=\frac{Cdu_c}{dt}$

4.1.2 Equation différentielle vérifiée par $u_C$ .

$u_{G}=u_{R}+u_{C}\Rightarrow E=RC.\frac{du_c}{dt}u_{C}\Rightarrow \frac{du_c}{dt}+\frac{u_c}{RC}=\frac{E}{RC}$

4.1.3 Expressions des constantes A, B et $\alpha$ : $u_{C}=Ae^{ot}+B$ et à

à t = 0 $u_{C}=u_{0}\Rightarrow A+B=u_{0}$ et à t $\rightarrow\infty,u_{C}=E\Longrightarrow$ B = E et $A=U_{0}-E$

$\Longrightarrow\frac{du_c}{dt}+\frac{u_c}{RC}=\frac{E}{RC}\Longrightarrow\alpha Ae{-0t}+\frac{Ae{-0t}+B}{RC}=\frac{E}{RC}\Longrightarrow Ae{-0t}(\frac{1}{RC}-0)+\frac{B}{RC}=\frac{E}{RC}$

$\Longrightarrow Ae{-0t}(\frac{1}{RC}-\frac{\alpha BC}{RC})+\frac{B}{RC}=\frac{E} {RC}\Rightarrow Ae{-0t}\big(1-RC\alpha)+B=E\Rightarrow Ae{-0t}(1-RC\alpha\big)=0$

$\Rightarrow(1-RC\alpha)=0\Rightarrow\alpha=\frac{1}{RC}$ $\Rightarrow u_{c}=$U_{0}-E$e^{-\frac{1}{RC}}+E$

4.1.4 Valeurs de l’intensité et de la tension en régime permanent :

$u_{c}=$U_{0}-E$e^{-\frac{1}{RC}}t+E$

$t\rightarrow\infty u_{c}=$U_{0}-E$e^{-\infty)+E=0\Rightarrow u_{c}=E=18V$

$i=\frac{Cdu_c}{dt}$ or $u_c=cste$ en régime permanent $\Rightarrow i=0$

4.1.5. La valeur de C :

$u_{c}=$U_{0}-E$e^{-\frac{1}{RC}}t+E$ or $u_{c}=\frac{3}{4}E\Longrightarrow\frac{3}{4}E=(U_{0}-E)e^{-\frac{1}{RC}t}+E\Longrightarrow\frac{3}{4}E-E=(U_{0}-E)e^{- \frac{1}{RC}t}$

$\Longrightarrow\frac{1}{4}E=(U_{0}-E)e^{-\frac{1}{RC}t}\Longrightarrow -4,5=-15e^{-\frac{1}{RC}t}\Longrightarrow\frac{1}{RC}t=ln\big(\frac{15}{45}\big)\Longrightarrow c=\frac{t}{Rlr(\frac{15}{45})} =3,5.10^{-6}F$

4.2.1.1 Schéma du circuit.

4.2.1.2. Equation différentielle :

$u_{C}=u_{R}$ or $u_{R}=R_{1}i$ et $i=\frac{Ccu_{c}}{dt}\Longrightarrow u_{C}=-\frac{R_{1}Ccu_{c}}{dt}\Longrightarrow\frac{cu_{c}}{dt}+\frac{u_{c}}{R_{1}C}=0$

4.2.1.3 Montrer que l’expression $u_{C}(t)=A^{\prime}e^{-\alpha^{\prime}t}+B^{\prime}$ est solution

$\frac{cu_{c}}{dt}+\frac{u_{c}}{R_{1}C}=0\Longrightarrow\frac{du_{c}}{dt}=-\frac{u_{c}}{R_{1}C}\Longrightarrow\frac{du_{c}}{u_{c}}=-\frac{dt}{R_{1}C}\longrightarrow\int{\frac{du_{c}}{u_{c}}}=-\int{\frac{dt}{R_{1}C}}\Longrightarrow ln(u_{c})=-\frac{t}{R_{1}C}+cste\Longrightarrow$

$u_{C}=A^{\prime}e^{\frac{t}{R_{1}C}}+B^{\prime}$ est solution avec

$\alpha^{\prime}=\frac{1}{R_{1}C}$

à $t=0,u_{C}=E\Rightarrow A^{\prime}+B^{\prime}=E$ et à $t\rightarrow\infty,u_{C}=u_{0}\Rightarrow$ $B^{\prime}=U_{0}$ et $A^{\prime}=E-U_{0}$

4.2.1.4 Durée de fonctionnement de la sirène :

$u_{m}=15.e^{\frac{t}{R_{1}C}}+3.\Longrightarrow 9=15.e^{\frac{t}{R_{1}C}}+3\Longrightarrow e^{\frac{t}{R_{1}C}}=\frac{6}{15}\Longrightarrow\frac{t}{R_{1}C}=ln\big(\frac{15}{6}\big)\Longrightarrow t=R_{1}C.ln\big(\frac{15}{6}\big)$

$t=4,7.10^{6}\ast 3,5.10^{6}.$\frac{15}{6}$\Rightarrow t=15s.$

4.2.2.1 L’équation différentielle relative à $u_{C}(t)$ :

$u_{L}+u_{C}=0\Longrightarrow LC\frac{di}{dt}+u_{C}\Longrightarrow LC.\frac{d^{2}u_{C}}{dt^{2}}+u_{C}=0\Longrightarrow \frac{d^{2}u_{C}}{dt^{2}}+\frac{1}{LC}.u_{C}=0$ équationdifférentielle.

la solution est de la forme : $u_{C}=u_{Cmax^{cos}}\big(\frac{1}{\sqrt{LC}}t+\varphi\big)$

$u_{C}(t)=K.cos\big(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\big)\Longrightarrow K=u_{cmax}=E;T_{0}=\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\Longrightarrow T_{0}=2\pi\sqrt{LC}$

à t=0 $u_{C}=E\Rightarrow cos\phi=1\Rightarrow\phi=0$

4.2.2.2. Equation différentielle relative à $u_{C}$

a) $u_{L}+u_{R}+u_{C}=0\Longrightarrow L\frac{di}{dt}+R_{d}i+u_{C}=0\Longrightarrow LC.\frac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}+\frac{R_{d}Cdu_{c}}{dt}+u_{C}=0$

$\Rightarrow \frac{d^{2}u_{C}}{dt^{2}}+\frac{R_{d}C_{d}u_{c}}{Ldt}+\frac{1}{LC}u_{C} =0$ or

$T_{0}^{2}=4\pi^{2}LC=\frac{T_{0}^{2}}{4\pi^{2}}=\frac{R_{d}C_{d}u_{c}}{Ldt}+\frac{4\pi^{2}}{T_{0}^{2}}.u_{C}=0$

$\frac{d^{2}u_{C}}{dt^{2}}+2\lambda.\frac{du_{C}}{dt}+\frac{4\pi^{2}}{T_{0}^{2}}.u_{C}=0$ avec $\lambda=\frac{R_d}{2L}$

b) Calcul de T: ; T=1,3 ms $T_0$ = 1,2 ms ; donc $T\approx T_0$ .

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