PARTIE A
1) est la fonction définie par:
si et
a) Sur est continue et
dérivable comme composée de fonctions continues et dérivables.
Continuité de en 0
(0) = 0
avec
or donc
d'où continue sur
Dérivabilité de en 0
car tend vers quand tend vers
ainsi
donc est dérivable en 0 et
d'où dérivable sur
b)
Si ,
Si ,
ainsi
pour
ainsi
pour
en regroupant les résultats et on a:
2) Variation de
pour
et ont le même signe pour
garde un signe constant positif
Remarque : est paire
Recherche des points d'inflexion éventuels.
pour
Etudions
donc
signe de
donc on a deux points d'inflexion en et
courbe de
PARTIE B
et
1)
a) Montrons que f est impaire sur
f étant définie sur si alors
si
or paire donc
d'autre part en posant on a d
or
ainsi
donc pour
est alors impaire sur
b)
sur est croissante
donc
ce qui entraine
la fonction continue sur
par passage de l'intégrale de à on obtient
donc
c) pour et
donc
d'autre part pour
donc
or
On en déduit que
f étant impaire
donc
or
ainsi
f est alors continue en
2)
a) Pour
donc pour on a
étudions le cas où
on pose:
b) Pour Montrons que
on a d'aprés 2) :
or donc
d'où aussi
Montrons que
d'aprés la relation 2) :
or donc
aussi
d'où
c) Si
et
pour
donc
est alors dérivable à droite de
est paire sur
donc
donc or
d'où est dérivable en et
3)
a) pour , on a
pour on a
ainsi
b)
donc
or donc
donc or paire
donc
c) pour
or
et
donc
ainsi
or
or
ainsi
conclusion :
est continue en 0
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