Partie A
1. a.
La fonction est définie et continue sur .
Elle est dérivable et
Voici son tableau de variations.
On y voit clairement que le maximum de est -1 donc
Remarquer qu’on n’a pas besoin des limites de aux bornes de son ensemble de définition.
b. L’application est dérivable sur . La dérivé étant strictement positive, la fonction fn et strictement croissante.
.
Par conséquent, réalise une bijection de sur , et l’équation ( c’est
à dire l’équation ) admet une solution unique ( dépendant naturellement n).
d’après le a.
Ainsi , donc appartient à ]ln(n/2), ln\,n[
c. La relation entraînent .
De on tire :
- En divisant par n,
et comme les suites minorante et majorante ont 0 comme limite commune, le théorème des gendarmes permet d’écrire .
- En divisant par et comme les suites minorante et majorante (suite constante) ont 1 comme limite commune, le théorème des gendarmes permet d’écrire .
d. Pour n = 1, on , donc .
2. a. On a, en suivant la remarque
Le premier facteur a pour limite 1 et le deuxième facteur, compte tenu du fait que a aussi pour limite 1. Donc
Comme a pour limite 1, on a bien
b. On a et en suivant la remarque
.
la relation et la stricte croissance de l’application entraînent ; la suite est donc strictement croissante.
c.
Puisque l’application fn est croissante, on a pour tout t appartenant à ,
c’est à dire puis par intégration
.
comme les suites minorante (suite constante égale à 0) et majorante ont 0 comme limite
commune, le théorème des gendarmes permet d’écrire
3. a. La fonction est définie, continue et dérivable sur son ensemble de définition . Sa dérivé est l’application , elle vaut 1 au point 0. Donc
. En posant
,
on bien pour tout h appartenant à D.
b. On sait d’après le résultat de la question 1 que a pour limite 1, donc a pour limite 0.
On déduit de et en suivant la remarque :
Puisque la suite a pour limite 0, on peut écrire, d’après la question précédente : étant une suite ayant pour limite 0.
Partie B
1. a.
On a d’après l’indication de la première partie, c'est à dire . est un point fixe de g.
Or g est dérivable dans
. La dérivée de g étant < 0, g est strictement décroissante ; donc est le seul point fixe de g.
.
.
Puisque sont de signe contraire, appartient à ]a, b[
b. On a déjà montré que g est dérivable sur I et
Alors .
L’application est dérivable sur I et sa dérivée
est > 0 sur I. est donc croissante. Par conséquent
c'est à dire
Voici le théorème appelé Inégalité des accroissements finis qui permet d’en déduire que
.
Soit une application définie sur un intervalle J = [u, v] à valeurs dans .
On suppose que est continue sur J, dérivable sur ]u, v[ et il existe un réel vérifiant
Alors
.
c. g étant continue et décroissante, g([a, b]) = [g(b), g(a)] = [a, g(a)].
Pour que , il suffit que c’est à dire , ce que montre un calcul direct (on trouve
2. a. Pour répondre à la question, puisque I est contenu dans l’ensemble de définition de g,
il suffit de démontrer par récurrence la propriété .
existe et est donc vraie.
Si est vraie pour un entier donné n alors an existe et
est donc vraie.
b. Démontrons par récurrence la propriété .
On a est donc vraie.
Si est vraie pour un entier donné n, on a :
est donc vraie.
est < 1 donc et la propriété et le théorème des
gendarmes entrainent .
La suite est donc convergente et de limite u2.
c. Pour que an soit une valeur approchée de , il suffit que soit
c’est à dire . On peut donc prendre
3. Voir la figure 2.
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