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2001 : Raisonnement scientifique

Terminale L

Corrigé 2016 :

Détails: Catégorie : algèbre

1. L’application complexe F correspondant à f est de la forme F(z) = az + b avec $a=\frac{1}{3}j^2$ et b = 0. C’est donc la similitude plane directe d’angle $\theta=\textrm{arg a}=2\textrm{arg j}=\frac{4\pi}{3}$ , de rapport
$k=|a|=\frac{1}{3}$ et de centre le point d’affixe $\frac{b}{1-a}=0$ c’est à dire l’origine.

2. a. Un point M' d’affixe z' appartient à $f(\cal{E})$ si et seulement si il existe un point M de $\cal{E}$ d’affixe z tel que F(z) = z'
c’est à dire $\frac{3}{j^2}z^{\prime}$ .

Alors en tenant compte des indications sur j on a :

$\begin{array}{lllll}M^\prime(z^\prime)\in f(\cal{E})&\Leftrightarrow& M(z)\in\cal{E}&&\\\\&\Leftrightarrow& jz^2+\overline{jz^2}-\frac{10}{3}z\bar{z}+192&=&0\\\\&\Leftrightarrow&j\left(\frac{3}{j^2}z^{\prime}\right)^2+\overline{j\left(\frac{3}{j^2}z^{\prime}\right)^2}-\frac{10}{3}\frac{3}{j^2}z^{\prime}\overline{\left(\frac{3}{j^2}z^{\prime}\right)}+192&=&0\\\\&\Leftrightarrow&9z^{\prime 2}+\overline{9z^{\prime 2}}-30z^\prime\bar{z^\prime}+192&=&0\\\\&\Leftrightarrow&3z^{\prime 2}+3\overline{z^{\prime 2}}-10z^\prime\bar{z^\prime}+64&=&0\end{array}$

Si z' s’écrit $z^{\prime}+iy^{\prime}$ , alors

$\begin{array}{lllll}M^\prime(z^\prime)\in f(\cal{E})&\Leftrightarrow& 3(z^{\prime 2}+\overline{z^{\prime 2}})-10z^{\prime}\bar{z^{\prime}}+64&=&0\\\\&\Leftrightarrow&3\times 2\mathbb{R}e(z^{\prime 2})-10(x^{\prime 2}+y^{\prime 2})+64&=&0\\\\&\Leftrightarrow&3\times 2(x^{\prime 2}-y^{\prime 2})-10(x^{\prime 2}+y^{\prime 2})+64&=&0\\\\&\Leftrightarrow&x^{\prime 2}+4y^{\prime 2}&=&16\end{array}$

L’équation $x^{2}+4y^{2}=16$ est bien une équation cartésienne de $f(\cal{E})$ .

b. Cette dernière équation s’écrit aussi $\frac{x^{2}}{4^2}+\frac{y^{2}}{2^2}=1$ .

$f(\cal{E})$ est donc une ellipse de centre l’origine.

Ses foyers $F^{\prime}_1$

et $F^{\prime}_2$ ont pour coordonnées respectives (-c, 0) et (c, 0) avec $c=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$ . Son excentricité est $e=\frac{c}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. Les foyers et axes de $\cal{E}$ sont les images réciproques des foyers et axes de $f(\cal{E})$ par la similitude réciproque de f, laquelle a pour centre O, pour angle $-\theta=-\frac{4\pi}{3}\equiv\frac{2\pi}{3}[2\pi]$ et pour rapport $\frac{1}{k}=3$ .

Les graphiques de $f(\cal{E})$ et de $\cal{E}$ .

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