Corrigé 2015 :

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Corrigé 2018 :

Terminale L

Corrigé 2015 :

Détails: Catégorie : algèbre

1a. Il suffit de l’écrire.

b. Soit k un entier non nul et T = (p, q, r) un triplet d’entiers relatifs tel que r non nul.

$T\in\Gamma\Leftrightarrow p^{2}+ q^{2}= r^{2}\Leftrightarrow (kp)^{2}+(kq)^{2}=(kr)^{2}\Leftrightarrow kT\in\Gamma$

2. a. Posons $T_{1} = (p_{1}, q_{1}, r_{1}) et T_{2} = (p_{2}, q_{2}, r_{2}).$ Alors.

$\overrightarrow{OM_{1}}.\overrightarrow{OM_{2}}=p_{1}p_{2}+q_{1}q_{2}$

$||\overrightarrow{OM_{1}}\wedge\overrightarrow{OM_{2}}||=||(p_{1}q_{2}-p_{2}q_{1})\vec{k}||=|p_{1}q_{2}-p_{2}q_{1}|$

et $||\overrightarrow{OM_{1}}||.||\overrightarrow{OM_{2}}||=r_{1}r_{2}$

sont bien des entiers. Ensuite

$$\overrightarrow{OM_{1}}.\overrightarrow{OM_{2}}$^{2}$ = $||\overrightarrow{OM_{1}}||^{2}.||\overrightarrow{OM_{2}}||^{2}cos^{2}\theta$

$||\overrightarrow{OM_{1}}\lwedge\overrightarrow{OM_{2}}||^{2}$ = $||\overrightarrow{OM_{1}}||^{2}.||\overrightarrow{OM_{2}}||^{2}sin^{2}\theta$

Donc

$\big(\overrightarrow{OM_{1}}.\overrightarrow{OM_{2}}\big)^{2}+||\overrightarrow{OM_{1}}\lambda\overrightarrow{OM_{2}}||^{2}=\big(||\overrightarrow{OM_{1}}||.||\overrightarrow{OM_{2}}||\big)^{2}$

et $T_{1}\ast T_{1}\in\Gamma$

Ou bien :

$\begin{array}{lllll}(\overrightarrow{OM_{1}}.\overrightarrow{OM_{2}})^{2}+||\overrightarrow{OM_{1}}\wedge\overrightarrow{OM_{2}}||^{2}&=&(p_{1}p_{2}+q_{1}q_{2})^{2}+|p_{1}q_{2}-p_{2}q_{1}|^{2}&=& p_{1}^{2}p_{2}^{2}+q_{1}^{2}q_{2}^{2}+p_{1}^{2}q_{2}^{2}+p_{2}^{2}q_{1}^{2}\\&=&(p_{1}^{2}+q_{1}^{2})(p_{2}^{2}+q_{2}^{2})&=&r_{1}^{2}r_{2}^{2}\\&=&(||\overrightarrow{OM_{1}}||.||\overrightarrow{OM_{2}}||)^{2}&&\end{array}$

b. Le }triplet $T_{1} \ast T_{1}$ est trivial si et seulement si $\overrightarrow{OM_{1}}.\overrightarrow{OM_{2}}=0$ ( c’est à dire $(OM_{1})$ et $(OM_{2})$ sont perpendiculaires) ou $\overrightarrow{OM_{1}}\wedge\overrightarrow{OM_{2}}=0$ ( c’est à dire

$(\overrightarrow{OM_{1}})$ et $(\overrightarrow{OM_{2}})$ sont colinéaires donc $(OM_{1})$ et $(OM_{2})$ sont confondues).

c. Notons $M^{\prime})$ et $M^{\prime\prime}$ les points associés au triplets $T^{\prime})$ et $T^{\prime\prime}$ .

Alors

$S^{\prime})=T^{\prime}\ast T^{\prime\prime}=\overrightarrow{OM^{\prime}}.\overrightarrow{OM^{\prime\prime}},||\overrightarrow{OM^{\prime}}\wedge\overrightarrow{OM^{\prime\prime}}||,||\overrightarrow{OM^{\prime}}||.||\overrightarrow{OM^{\prime\prime}}||= (63, 16, 65)$ appartient à $\Gamma$ et il est irréductible.

$T^{\prime\prime}_{0} = (-5, 12, 13)$ est aussi un élèment de $\Gamma$ ; notons

$M^{\prime\prime}_{0}$ le point associé au triplet $T^{\prime\prime}_{0}$ .

Alors $S^{\prime\prime} = T^{\prime}\ast T^{\prime\prime}_{0}=\overrightarrow{OM^{\prime}}.\overrightarrow{OM^{\prime\prime}}_{0},||\overrightarrow{OM^{\prime}}\wedge\overrightarrow{OM^{\prime\prime}}_{0}||,||\overrightarrow{OM^{\prime}}||.||\overrightarrow{OM^{\prime\prime}}_{0}||=(33, 56, 65)$ appartient à $\Gamma$ et il est irréductible.

Notons $N^{\prime})$ et $N^{\prime\prime}$

les points associés au triplets $S^{\prime})$ et $S^{\prime\prime}$ .

Alors $S^{\prime\prime} = \ast S^{\prime\prime}_{0}=\overrightarrow{ON^{\prime}}.\overrightarrow{ON^{\prime\prime}}_{0},||\overrightarrow{ON^{\prime}}\wedge\overrightarrow{ON^{\prime\prime}}_{0}||,||\overrightarrow{ON^{\prime}}||.||\overrightarrow{ON^{\prime\prime}}_{0}||= (2975, 3000, 4225$ appartient à $\Gamma$ mais est réductible. Le triplet irr´eductible correspondant est (119, 120, 169).

on obtient d’autres triplets en combinant par exemple $T^{\prime}$ et $S^{\prime\prime}$ ou $T^{\prime\prime}$ et $S^{\prime\prime}$ etc...2

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