Corrigé 2014 : Algébre

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Corrigé 2006 : Identification d’un acide carboxylique

Terminale L

Corrigé 2014 : Algébre

Détails: Catégorie : algèbre

1.a. Si n=1, la propriété est triviale. Supposons donc $n\geq 2$ .

$a\wedge b^{n}=1\Leftrightarrow u,v\in\mathbb{Z}{ : au+b{n}v=1$ d'après Bezout

$\Rightarrow au+b^{n}v\prime =1$ avec $v\prime =b{n-1}v$

$\Rightarrow a\wedge b =1$

Réciproquement

$a\wedge b =1\Leftrightarrow \exists u,v\in\mathbb{Z} : au+bv=1$ d'après Bezout

$\Leftrightarrow \existsu,v\in\mathbb{Z} : bv=1-au$

$\Rightarrow b^{n}v^{n}=(1-au)^{n}$

$\Leftrightarrow b^{n}v^{n}=\sum_{p=0}^{n}C_{n}^{p}a^{p}(-u)^{p}$

Tous les termes de la somme $\sum_{p=0}^{n}C_{n}^{p}a^{p}(-u)^{p}$ contiennent le facteur a sauf le premier(correspondant à p=0) qui vaut 1; donc cette somme s'écrit $1+au\prime, u\prime\in\mathbb{Z}$ et

$a\wedge b=1\Leftrightarrow b^{n}v\prime =1+au\prime$ avec $v\prime =v^{n}$

$\Longleftrightarrow -au\prime +b^{n}v\prime =1$

$\Rightarrow a\wedge b^{n} =1$ d'après Bezout

b. si a et b sont premiers entre eux , alors a est premier avec $b^{n}$ , d'après le a.
Comme a divise le produit $b^{n} c$ , il divise c, d'après Gausse.

2.a. La fonction $f: x\mapsto 7x^{3}+2x^{2}+2x-5$ est définie sur $\mathbb{R}$ ,est continue et dérivable et

$\forall x\in\mathbb{R}, f\prime (x)=21x^{2}+4x 21x^{2}+4x+2$ .

La dérivée est un polynome du second degré en s dont le discriminant réduit $2^{2}-42$ est strictement négatif; la dérivé est alors strictement positive sur $\mathbb{R}$ , cette dernière égalité provenant du fait que $\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$

L'équation f(x) = 0 admet donc une solution réelle unique.
$f(0)f(1)=-30<0$ donc la solution réelle de l'équation appartient à ]0,1[, d'après le théorème des valeurs intermédiaires.

b. Si p/q est solution de l'équation , on doit avoir $7\frac{p^{3}}{q^{3}}+2\frac{p^{2}}{q^{2}}+2\frac{p}{q} -5=0$

Cette relation s'écrit

$p(7p^{3}+2p^{2}q+2qp^{2})=5q^{3}$

donc p divise $5q^{3}$ et d'après la question précédente, p divise 5.

Cette relation s'écrit aussi

$7p^{3}=q(5q^{2}-2pq -2p^{2})$

donc q divise $7p{3}$ et d'après la question précédente, q divise 7.

c. Une éventuelle solution rationnelle de l'équation étant positive", on peut considérer que p et q sont positifs ; alors, les seules valeurs possibles de p sont 1 et 5 et les seules valeurs possibles de q sont 1 et 7. Comme en plus la solution appartient à l'intervallle ] 0,1 [, les seuls candidats solutions sont 1/7 et 5/7.

Un calcul direct montrer alors que l'unique solution rationnelle de l'équation est 5/7

3. Ce qui précède montre que 7x - 5 est un facteur du polynome $7x^{3}+2x^{2}+2x-5$ .

En procédant par idantification ou par division euclidienne, on obtient

$7x^{3}+2x^{2}+2x-5=(7x-5)(x^{2}+x+1)$

les autres solutions de l'équation sont donc celles de $x^{2}+x+1=0$ .

Le discriminant de cette équation est $-3=(i\sqrt{3})^{2}$ .

Les solution s complexes de l'équation sont donc $5/7,j=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ et $\bar{j}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$

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