Corrigé 2010

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Corrigé 2013 : Désingtégration du cobalt

Terminale L

Corrigé 2010

Détails: Catégorie : algèbre

1. a) Pour que $193$ soit premier, il faut et il suffit qu'il soit non divisible par tout nombre premier dont le carré est inférieur à $193$ . Ces nombres sont $2,\, 3,\, 5,\, 7,\, 11,\, 13$ et aucun d'eux ne divise $193.$

b) $193$ étant premier, est premier avec tout entier naturel strictement plus petit, en particulier, il est premier avec $192.$

Il suffit d'appliquer le petit théorème de Fermat avec $a=193$ et $p=192.$

2. a) Le couple $(x_0, y_0)=(155, 67)$ est solution de $(E)$ parce que $83 . 155 - 192 . 67 = 1$ .

b) Si $(x, y)$ est une solution de $(E)$ on peut écrire :
$\left\{\begin{array}{l}83. x_0 - 192. y_0 = 1 \\83 . x -192 . y = 1\end{array} \right.$

Puis en faisant la différence $83 .( x-x_0) - 192.(y-y_0) = 0$

c'est à dire

$83 .( x-x_0) = 192 . (y-y_0)$

Or $83$ est premier avec $192$ parce que l'équation $(E)$ a une solution (théorème de Bezout).

La relation précédente montre que $83$ divise le produit $192 . (y-y_0)$ (en $x-x_0$ parties); comme il est premier avec $192$ , il divise $y-y_0$ (théorème de Gauss).

Donc il existe un entier $k$ tel que $y-y_0 =83 k$ soit $y= y_0 + 83 k$ .

La relation $83 . x - 192 . y = 1$ devient alors $83 . x = 192 . ( y_0 + 83 k) + 1= 83.(x_0 +192 k)$ \ie $x = x_0 +192 k$

Ensuite on vérifie que n'importe quel couple du genre $(x_0 +192 k, y_0 + 83 k)$ est bien une solution de $(E)$ .

L'ensemble des solutions de $(E)$ est $\set{(155+192 k, 67 + 83 k),\; k\in\mathbb{Z}$

3. On utilisera la propriété suivante : Si $a, b$ et $n$ sont des entiers tels que ${/a \equiv b [n],$

alors pour tout entier naturel $k$ on a : $a^k \equiv b^k [n]$

Posons $\mathcal{A} =\set{0,\,\dots\,192}$ . Pour tout $a \in \mathcal{A}$ , $f(a)$ et $g(a)$ sont les seuls éléments de $\mathcal{A}$ tels que :

$f(a) \equiv a^{83}\ [193]$ $(1)$
et $g(a) \equiv a^{155}\ [193]$ $(2)$

Puisque $g(a)$ appartient à $\mathcal{A}$ , dans $(2)$ , on peut remplacer $a$ par $f(a)$ :

$g(f(a)) \equiv f(a) ^{155}\ [193]$ }

Dans $(1)$ utilisons la propriété citée avec $k=155$ :

$f(a)^{155} \equiv \Big(a^{83}\Big)^{155}\ [193]$

On obtient alors par transitivité de $\equiv :$

$g(f(a)) \equiv a^{83.155 }\ [193] (3)$

a) Reprenons la relation $83 . x_0 + 192 . y_0 = 1$

qui s'écrit aussi : $83 . x_0 =1+ 192 . y_0$

Cette relation permet d'avoir : $a^{83 . x_0} =a^{1+ 192 . y_0}= a\ (a^{ 192})^{ .67}$

Comme nous le savons déjà $a^{ 192} \equiv 1 [193]$ . Donc $a^{83.155 }= a^{83 . x_0} =a^{1+ 192 . y_0}\equiv a .\ 1^{67} [193]$ .

Finalement

$a^{83.155 } \equiv a [193]\quad (4).$

$(3)$ et $(4)$ entraînent par transitivité :
$g(f(a)) \equiv a [193]$

$g(f(a))$ et $a$ sont des éléments de $\mathcal{A}$ équivalents modulo $193$ .

Nous allons monter qu'ils sont égaux.

$g(f(a))$ et $a$ sont des éléments de $\mathcal{A}$ entraîne $|g(f(a))-a| \leq 192$

$g(f(a)) \equiv a [193]$ signifie il existe un entier $k$ tel que $g(f(a)) - a =193 k$ .

On déduit de ces deux propriétés que $193| k| \leq 192$ c'est à dire $k=0$ ou $g(f(a)) = a$ .

Le même raisonnement montre que pour tout $a \in \mathcal{A}$ , on a : $f(g(a)) = a$ .

Nous venons de démontrer que $f\circ g = g\circ f = I_\mathcal{A}$

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