Corrigé 2009

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Reproduction des mammifères

Corrigé 1999 Exploitation de documents : Régulation du taux des hormones (5 pts)

Terminale L

Corrigé 2009

Détails: Catégorie : algèbre

1. Chacun des entiers qui interviennent dans l'écriture d'un nombre en base $a$ doit être strictement inférieur à $a$ . Comme l'entier $3$ intervient dans l'écriture de $C$ , on a $a>3.$

2. a. Les données du problème se traduisent par

A = $\ondang 2\times a^{2}+\ondang 1\times a^{1}+\ondang1\times a^{0}$

B = $\ondang3\times a^{2}+\ondang1\times a^{1}+\ondang 2\times a^{0}$

C = $\ondang1\times a^{5}+\ondang3\times a^{4}+\ondang3\times a^{3}+\ondang0\times a^2+\ondang3 \times a+\ondang2\timesa^{0}$

La relation $C=AB$ signifie alors:

$6a^4+5a^3+8a^2+3a+2=a^5+3a^4+3a^3+3a+2$
soit $a^5-3a^4-2a^3-8a^2=0$
ou $a^3-3a^2-2a -8 =0$

b. La relation $a^3-3a^2-2a -8 =0$ se traduit par $a(a^2-3a -2)=8$ ; ce qui entraîne que $a$ divise $8$ , l'autre facteur étant $T(a)=a^2-3a -2$ .

c. $a$ étant un diviseur de $8$ strictement supérieur à $3$ vaut nécessairement $4$ ou $8$ .

Si $a$ était égal à $8$ , le facteur $T(a)$ serait égal à $38$ et non à $1$ .

On vérifie ensuite que pour $a = 4$ on a bien $a(a^2-3a -2)=8$ .

3. Faisons les divisions euclidiennes successives:

Le nombre qui s'écrit $214$ dans la base $10$ à pour écriture $3112$ dans la base $4$ .

Vérification!! On a bien: $\ondang{3}\times 4^3+\ondang{1}\times 4^2+\ondang{1}\times 4^1+\ondang{2}\times 4^0=214$

4.a. Puisque $a=4$ , les relations deviennent:

A = $\ondang2\times4^2+\ondang1\times4^1+\ondang1$ = 37

B = $\ondang3\times4^2+\ondang1\times4^1+\ondang2$ = 54

C = $\ondang1\times4^5+\ondang3\times4^4+\ondang3\times4^3+\ondang3\times4+\ondang2$ = 1998

Soit { $A=37,\;B=54,\;C=1998$ }

b. On a $A=37$ est premier, $B=54 =2.\,3^3$ .

Donc ppcm $(A,B)=37.2.\,3^3 = A.B=C$ .

On en déduit aussi pgcd $(A,B) =1$ .

{La propriété pgcd $(A,B) =1$ garantit l'existence des solutions de l'équation $Ax+By=1$ .}

5. a. $A .19+B.(-13)=1$ donc le couple $(x_0, y_0)=(19,-13)$ est bien solution de l'équation $Ax+By=1$ .

b. La solution générale de l'équation est $(x, y) = (x_0+kB, y_0-kA),\; k \in \Z$

$S=\set{(19+54k,-13-37k),\; k \in \Z}$

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