2016 : Problème

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Terminale L

2016 : Problème

Détails: Catégorie : Analyse

On considère la fonction f définie par : $f(x)=\frac{lnx^2}{x}$

1) Montrer que l’ensemble de définition de f est $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ . (0,5 point)

2) Montrer que la fonction f est impaire. (0,5 point)

3) On décide d’étudier la fonction f sur l’intervalle $]0,\;+\infty[$ . (01 point)

a) Montrer que $\lim_{x\to 0^+}f(x)=- \infty$ et que $\lim_{x\to +\infty}f(x)=0$ . (01 point)

b) Interpréter graphiquement les résultats. (0,5 point)

4) a) Montrer que pour tout x strictement positif, $f^{\prime}(x)=2\left(\frac{1-lnx}{x^2}\right)$ (01 point)

b) En déduire que la fonction f est strictement croissante sur ]0, e[ et strictement décroissante sur $]e,\;+\infty[$ .

En déduire son tableau de variations. (01 point)

5) a) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous

b) Sans calcul, trouver les valeurs de : $f\left(\frac{1}{2}\right), f(-1), f(-2), f(-e), f(-3), f(-4)$ en justifiant votre réponse. (01 point)

6) Dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité graphique 2 cm), tracer la courbe représentative de f sur tout son ensemble de définition. (01,5 point)

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