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Corrigé 2013 : Nombres complexes et suites numériques

Détails: Catégorie : Suites numériques

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct $(O,\vec e{_{1},\vec e{_{2})$ .

$S=S\left(O,\frac{\pi}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ est la similitude de centre O, d’angle $\frac{\pi}{2}$ et de rapport $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

1. $z'-z_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{\pi}{2}}(z'-z_{0})$ or $z_{0}=0$ donc
$z'=i\frac{\sqrt{2}}{2}z$

2. (a) $z_{1}=i\frac{\sqrt{2}}{2}z_{0}=i\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)=i\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$z_{2}=i\frac{\sqrt{2}}{2}z_{1}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$

$z_{3}=i\frac{\sqrt{2}}{2}z_{2}=-i\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$

b) $z_{n}=i\frac{\sqrt{2}}{2}z_{n-1},n\geq 1.$

c) On prévoit que,d'après(b), $(z_{n})\in\mathbb{N}$ est une suit géomeétrique de premier terme $z_{0}=1+i$ et de raison $q=i\frac{\sqrt{2}}{2},$

d'où $z_{n}=\left(i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}z_{0}$

ce qui donne $z_{n}=\left(i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}(1+i),n\geq 0$

(d) $a_{n}=\left|z_{n}\right|a_{n}=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}$

$a_{n+1}=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n+1}$

$a_{n+1}=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}\frac{\sqrt{2}}{2}$

ainsi $a_{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}a_{n},n\geq 0$

D’où $a_{n}\in\mathbb{N}$ est une suite géomètrique de premier terme $a_{0}=\sqrt{2}$

et de raison $q=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

.
(e) $(a_{n})$ converge vers zéro car sa raison $q=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ est dans $]0;1[$

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