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Corrigé 2018 :

Détails: Catégorie : Electromégnétisme

4.1.1 Nom du phénomène :

Lorsque qu’on ferme l’interrupteur on a le phénomène d’auto-induction.

4.1.2 Schéma et vecteur champ magnétique :

4.1.3 Expression de l’inductance :

$\Phi=NBS\;or\;B=\frac{\mu_0Ni}{l}\Rightarrow\Phi=N\frac{\mu_0Ni}{\ell}S=\frac{\mu_0N^2i}{\ell}s\; or\;L=\frac{\Phi}{i}\Rightarrow L=\frac{\mu_0N^2s}{\ell}$

Calcul de l’inductance : $L=\frac{4\pi.10^{-7}[1280]^2.314.10^{-4}}{0,8}=0,081\;H=81\;mH$ .

4.2.1 Attribution des courbes :

Le condensateur étant chargée à t= 0 donc $u_c=u_{AM}\neq\;0$ : courbe 1 $(u_{AM})$ et courbe 2 $(u_{DM})$ .

Le phénomène expliquant la décroissance de l’amplitude de la courbe 1 : c’est la perte d’énergie par effet joule.

4.2.2 Relations : $i=\frac{dq}{dt}$ et $u_{DM}=R.i.$ .

4.2.3 Equation différentielle :

$u_{AM}=u_{AD}+u_{DM}\Rightarrow u_{AM}=L.\frac{di}{dt}+Ri$ or $i=-\frac{dq}{dt}=-C.\frac{d^2u_{AM}}{dt^2}$

$\Rightarrow u_{AM}=-LC\frac{d^2u_{AM}}{dt^2}-RC\frac{du_{AM}}{dt}\Rightarrow u_{AM}+LC\frac{d^2u_{AM}}{dt^2}+RC\frac{du_{AM}}{dt}=0\Rightarrow \frac{d^2u_{AM}}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{du_{AM}}{dt}+\frac{1}{LC}u_{AM}=0$

La pseudo-période : graphiquement 3,5T = 14,7 ms $T=\frac{14,7}{3,5}=4,2\quad ms$ .

Valeur de la capacité : $T \approx T_0=2\pi\sqrt{LC}\Rightarrow LC=\frac{T^2}{4\pi^2}\Rightarrow C=\frac{T^2}{4\pi^2L}\quad C=\frac{(4,2.10^{-3})^2}{4\pi^2\times O,O81}=5,6.10^{-6}F$ .

4.2.4 Expression de l’énergie électromagnétique :

$E_{e,m}=\frac{1}{2}Li^2+\frac{1}{2}\frac{q^2}{c}$ avec $q=Cu_{AM}\Rightarrow u_{DM}=R.i\Rightarrow E_{e,m}=\frac{1}{2}L\frac{u_{DM}}{R}2+\frac{1}{2}Cu^2_{AM}$

4.2.5 Valeur de $E_{e,m}(t=14,7\;ms)$

$E_{e,m}=E_{condensateur}=\frac{1}{2}Cu^2_{AM}=\frac{1}{2}\times 5,6.10^{-6}\times (14)^2=5$

L'énergie dissipé : $E_{dissip\'{e}e} = |E_{e,m}(t=14,7\; ms)-E_{e,m}(t=0)|$

$E_{e,m}(t=O)=E_{condensateur}=\frac{1}{2}Cu^2_{AM}=\frac{1}{2}\times 5,6.10^{-6^2}=100,8.10^{-6}J$

$E_{dissip\'{e}e}=100,8.10^{-6}\quad -\quad 5,6.10^{-6}=9,53.10{-5}J$

c 2017

Détails: Catégorie : Electromégnétisme

3.1.

3.1.1. Référentiel terrestre supposé galiléen Système : fusée ;

Bilan des forces extérieures : poids $\vec{P}$ et force

de poussée $\vec{F}$ ;

Théorème du centre d’inertie. : $\vec{P} + \vec{F} =M\vec{a}$

$\Rightarrow F-P=M.a_Z\Rightarrow a_Z=\frac{F}{M}-g.\;\; A.N: a_Z=\frac{16.10^6}{8,5.10^5}-9,8=9,0\quad m.s^{-2}$

3.1.2. Loi de variation z(t) : $a_z$ = constante avec vitesse initiale nulle $\Rightarrow V_z= a_zt+C$

or à $t=0,V_z=V_{0z}=0\Rightarrow C=0\Rightarrow V_z= a_zt\Rightarrow z=\frac{1}{2}a_zt^2+C^{\prime}$ ; à t = 0,z = 0 $\Rightarrow z=\frac{1}{2}a_zt^2$

$z=4,51.t^2$

Altitude à la date t=15 s : $z = 4,51.(15)^2$ =1014 m ; z = 1,0 km

3.2.

3.2.1. Expression de la vitesse angulaire de la Terre :

Le mouvement de la Terre est circulaire est uniforme $\Rightarrow$ l'accélération est normale $\Rightarrow a= a_n=\frac{G.M_s}{d^2}$ or $a_n= \omega^2 d \Rightarrow \omega^2 d=\frac{G.M_s}{d^2}\Rightarrow \omega^2=\frac{G.M_s}{d^3}\Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{G.M_s}{d^3}}$

3.2.2. Valeur de la masse du Soleil :

$\omega^2=\frac{G.M_s}{d^3}\Rightarrow M_s=\frac{\omega^3.d^3}{G}=\frac{4\pi^2.d^3}{T^2G.}\quad A.N\, :\quad M_s=2.10^{30}\,kg$ .

3.2.3.

3.2.3.1. SOHO tourne d’un mouvement circulaire uniforme autour du Soleil comme la Terre ; les points S, P et T étant constamment alignés, SOHO a la même vitesse angulaire que la Terre : $\omaga_{soho}=\omega_T$ . Cependant le rayon de sa trajectoire est d- l.

3.2.3.2. Forces qui agissent sur P et leur représentation :

$\vec{F_s}$ = force de gravitation exercée par le Soeil sur P.

$\vec{F_T}$ = force de gravitation exercée par la Terre sur P

image

3.2.3.3. Relation entre \frac{M_T}{M_s} , d et l :

Théorème du centre d’inertie : $\vec{F_s}+\vec{F_T}=m.\vec{a}\Rightarrow\vec{F_s}-\vec{F_T}=m.a_n\Rightarrow\frac{G.M_s.m}{b^2}-\frac{G.M_T.m}{l^2}=m.a_n$
$\Rightarrow\frac{G.M_sm}{b^2}-\frac{G.M_Tm}{l^2}=m\omega^2b\Rightarrow\frac{GM_s}{b^2}-\frac{GM_T}{l^2}=\omega^2b\, ;\, or\quad\omega^2=\frac{G.M_s}{d^3}\Rightarrow\frac{GM_s}{b^2}-\frac{GM_T}{l^2}=\frac{GM_s}{d^3}b$

$b=(d-l)\Rightarrow\frac{M_s}{(d-l)^2}-\frac{M_s}{d_3}(d-l)=\frac{M_T}{l^2}\Rightarrow l^2\left(\frac{1}{(d-l)^2}-\frac{(d-l)}{d^3}\right)=\frac{M_T}{M_s}$

3.2.3.4. Relation $\left(\frac{l}{d}\right)^3=\frac{M_T}{3.M_s}$

on a : $l^2\left(\frac{1}{(d-l)^2}-\frac{(d-l)}{d^3}\right)=l^2\left(\frac{d^3}{(d-l)^2d^3}-\frac{(d-l)^3}{(d-l)^2d^3}\right)=l^2\left(\frac{d^3-(d-l)^3}{(d-l)^2d^3}\right)$

$\Rightarrow l^2\left(\frac{d^3-d^3\left(1-\frac{l}{d}\right)^3}{\left(1-\frac{l}{d}\right)^2d^5}\right)=\frac{M_T}{M_S}$ ; on pose $\frac{l}{d}=\epsilon\Rightarrow 1-\frac{l}{d}=1-\epsilon$

Dès lors : $l^2\left(\frac{d^3-d^3\left(1-\frac{l}{d}\right)^3}{\left(1-\frac{l}{d}\right)^2d^5}\right)=l^2\left(\frac{d^3(1-(1-\epsilon)}{(1-\epsilon)^2d^5}\right)\approx l^2\frac{3\epsilon}{d^2}$

si on fait l'approximation $(1-\epsilon)^n\approx 1-n\epsilon$ .

or $\epsilon =\frac{l}{d}\Rightarrow l^2\left(\frac{3\epsilon}{d^2}\right)=\frac{3l^3}{d^3}\Rightarrow\frac{3l^3}{d^3}=\frac{M_T}{3M_S}\Rightarrow\left(\frac{l}{d}\right)^3=\frac{M_T}{3M_S}$ ;

d'où $l=d\times 3\sqrt{\frac{M_T}{3M_S}}$

AN : $l=1,5.10^6\,km$

3.3. Un satellite tel que SOHO qui tourne d’un mouvement circulaire uniforme autour du Soleil permet d’observer le Soleil de façon continue. Un observatoire terrestre ne permet pas cela à cause de la rotation de la Terre sur elle-même au cours de son mouvement autour du Soleil.

3.4. Cette information n’est pas compatible avec le fait que SOHO effectue un mouvement circulaire uniforme autour du Soleil. En effet si l’attraction terrestre et celle du Soleil sur P s’équilibraient on aurait $\sum\vec{F_{ext}}=\vec{0}$ et en conséquence P devrait rester immobile dans le référentiel d’étude ou en mouvement rectiligne uniforme conformément au principe de l’inertie.

Corrigé 2011 : Spectographe de masse

Détails: Catégorie : Electromégnétisme

3.1.1. Force électrique sur un ion.

$U>0\rightarrow U_{A}>U_{C}\rightarrow \vec{E}$ orienté de A vers C

$\vec{F_{e}}=q\vec{E}\rightarrow$ caractéristiques de $\vec{F_{e}}$ (direction : celle de $\vec{E}$ et perpendiculaire à A, sens : celui de $\vec{E}$ car q > 0 ; intensité $F=q|E|)$

d'où le schema

3.1.2. Théorème de l'énergie cinétique entre $T_{1}$ et $T_{2}$ :

$\Delta E_{c}=W_{\vec{F_{e}}}\rightarrow E_{cT2}-E_{cT1}=q(V_{A}-V_{C})=qU$

$\rightarrow E_{cT2}=qU$ quelque soit le type d'ion

3.1.3. Vitesse de l'ion $^{39}K^{+}$

$E_{cT2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}=qU=eU\rightarrow v_{1}=\sqrt{\frac{2eU}{m_{1}}}=\sqrt{\frac{2eU}{39m_{0}}}\rightarrow v_{2}=\sqrt{\frac{2eU}{Xm_{0}}}$

3.2.

3.2.1. Représentation de la vitesse de la force magnétique au poin tN.
$\vec{v}N$ est tangente à la trjectoire en N et a le sens du mouvement.
La force magnétique : $\vec{F}_{m}=q\vec{v}\wedge \vec{B}\rightarrow$ le trièdre $(q\vec{v},\vec{B},\vec{F}_{m})$ est direct $\rightarrow$ la force $\vec{F}_{m}$ est perpendiculaire à $\vec{v}$ et $\vec{B}$ ; elle est centripète car la mouvement est circulaire et uniforme.

D'ou le schéma :

3.2.2. Le sens du champ magnétique $\vec{B}$
Le trièdre $(q\vec{v},\vec{B},\vec{F}_{m})$ étant direct, on en déduit le sens de $\vec{B}$ par application de la règle de la main droite ou toute autre règle équivalente. Le vecteur $\vec{B}$ est sortant (voir figure).

3.3. Rayon de la trajectoire des ions $^{39}K^{+}$

- Référentiel terrestre supposé galiléen.

- Système ion $^{39}K^{+}$

- Bilan des forces : force magnétique $\vec{F}_{m}=q\vec{v}\vec{B}$

Mouvement circulaire uniforme $\rightarrow\vec{F}_{m}=m_{an}=\frac{mv^{2}_{1}}{R_{1}}=qv_{1}B\rightarrow R_{1}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{78m_{o}U}{e}}$

En tenant compte de l'expresssion de $V_{1}$ établie en 3.1.3. on a

$R_{2}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2xm_{o}U}{e}}$

3.4. Valeur de $R_{1}$ : $R_{1}=28,5cm$

3.5.

3.5.1. Les points d'impact

Le point $I_{1}$ étant plus lumineux , il correspond à l'isotope le plus abondant $I_{1}\rightarrow ^{39}K^{+}$ et $I_{2}$ correspond à $^{x}K^{+}$

3.5.2. Rapport $\frac{R_{1}}{R_{2}}$

Les relation établis en 3.3. $\frac{R_{1}}{R_{2}}=\sqrt{\frac{39}{x}}$

3.5.3. Valeur du nombre de masse x
Distance entre les deux points d'impact : $d=2|R_{1}-R_{2}|$

$\rightarrow d =2R_{1}\left(\sqrt{\frac{x}{39}-1\right)\rightarrow x=39\left(\frac{d}{2R_{1}}+1\right)^{2}$

A.N. $x=42\rightarrow ion ^{42}K^{+}$

Corrigé 2015 :

Détails: Catégorie : Electromégnétisme

3.1 Enoncé de la loi de gravitation : deux corps ponctuels de masses respectives $m_1$ et $m_2$ distants de r exercent l'un sur l'autre des forces attractives directement opposées appelées forces d'interaction gravitationnelle dont l'intensité commune est proportionnelle aux masses et à l'inverse du carré de la distance r qui les sépare.

$\vec{F_{1/2}}=-\vec{F_{1/2}}=-\frac{G\ast m_{1}\ast m_{2}}{r^2}\ast\vec{u}$

3.2 Expression du vecteur champ de gravitation : on a $\vec{F}=m\vec{g}\vec{g}=-\frac{GM}{r^2}\ast\vec{u}$

Au sol r = R et $G = G_{0} =\frac{GM}{R^{2-}}\Longrightarrow G\ast M= G_{0}.R^{2}$

d'où l'on tire $C_L=\frac{g_{0}R^{2}}{(R+h)^{2^{.}}}$ .

3.3 Montrons que le mouvement du satellite est uniforme.

Système : le satellite ; référentiel terrestre supposé galiléen.

Bilan des forces extérieures : $\overrightarrow {F} =m\overrightarrow {g}$ force gravitationnelle.

Théorème du centre d’inertie : $\overrightarrow {F} =m\overrightarrow {a}\Rightarrow m\overrightarrow {g}=m\overrightarrow {a}\longrightarrow\overrightarrow{a}=\overrightarrow{g}$ or $\overrightarrow{g} \overrightarrow{V}\Rightarrow \overrightarrow{a_{t}}=\overrightarrow{0}\Longrightarrow\frac{dv}{dt}=0$
donc V = cste ; le mouvement est uniforme.

3.4 Expression de la vitesse
$\vec{a}=\vec{g}\Rightarrow\frac{V^2}{R+h}=\frac{g_oR^{2}}{(R+h)^2}\Rightarrow V=|\frac{\overline{g_oR^2}}{(R+h)}T=\frac{2\pi r}{V}\Rightarrow T=\frac{2\pi }{R}|\frac{\overline{(R+h)^3}}{g_oR^2}$

3.5 a) Un satellite géostationnaire est un satellite qui paraît immobile par rapport à la Terre.

b) la période de rotation du satellite égale la période de la terre.

$T=\frac{2\pi}{R}|\frac{\overline{(R+h)^3}}{g_oR^{2}} = T_{terre}\Rightarrow h=^{3}|\frac{\overline{T_{0}^{2}g_{o}R^2}}{4\pi^{2}}-R;$ AN : $h=3,6.10^{4}km$

3.6 .1 Fraction de surface couverte : f = $\frac{S(couverte)}{S(Terre)}=\frac{2\pi R^{2}(1-cos_{(}\theta_{)})}{4\pi R^{2}}=\frac{(1-cos_{(}\theta_{)})}{2}$

$cos\theta=\frac{R}{R+h}\Rightarrow f=\frac{(1-\frac{R}{R+h})}{2}=0,42=0,42\%$

3.6.2 Méteosat - 8 est un satellite géostationnaire donc ses observations concernent toujours la même zone.

Corrigé 2012 : Etude d'une bobine

Détails: Catégorie : Electromégnétisme

4.1.1. Schéma du solénoïde vue de dessus

4.1.2. Expression de $tan\alpha : tan\alpha =\frac{B_C}{B_H}=\frac{\mu_0.N.I}{l. B_H}$

4.2.1. Relation entre $tan\alpha$ et I à partir du graphe :
$tan\alpha = a.I$ or a=150 (coefficient directeur) $\rightarrow tan\alpha = 150.I$

4.2.2. Déduction de la valeur de N :
$tan\alpha : tan\alpha =\frac{\mu_0.N.I}{l. B_H}=150.I \rightarrow N = \frac{150.l.BH}{\mu_0}$
A.N : $N =N_0= \frac{150 \times 0,5 \times 2.10^{-5}}{4 \pi 10^{-7}}$ = 1194 spires.

4.2.3. Détermination de l’inductance L :
$\Phi = N.B.S = L.I$ or $S=\pi R^2$ et $B_C=\frac{\mu_0.N.I}{l} \rightarrow L.I = N.\frac{\mu_0.N.I}{l}.\pi R^2 \rightarrow L = \frac{\mu_0.N^2.\pi.R^2}{l}$ A.N : $L = \frac{4.\pi.10^{-7}.(5.10^{-2})^2.(1195)^2}{0,5} = 2,82.10^{-2} H$
L = 28,2 mH.

4.3.1. Intensité du courant en régime permanent :

$I_0 =\frac{E}{R + r + r’} =\frac{12}{10+5+5} = 0,6 A.$

4.3.2 a) Equation différentielle à laquelle obéit l’intensité i :
$U_{AD}= U_{AB} + U_{BC} + U_{CD}$
avec $U_{AB} = r’.i + L\frac{di}{dt}$
$U_{BC} = R_0.i ; {tex}U_{CD} = 0 et {tex}U_{AD} = 0\rightarrow 0 = r’.i + L\frac{di}{dt} + R_0.i \rightarrow L\frac{di}{dt}+ (R_0 + r’ ).i = 0 \rightarrow \frac{di}{dt}+ \left(\frac{R_0 + r’}{L}\right).i = 0$

4.3.2 b) Vérification que $i = A.e^{-t/\tau}$ est solution de l’équation différentielle :
$i = A.e^{-t/\tau} \rightarrow \frac{di}{dt}= -\frac{A}{\tau} e^{-t/\tau} \rightarrow \frac{di}{dt}+ \left(\frac{R_0 + r’}{L}\right).i = -\frac{A}{\tau} e^{-t/\tau}+\left(\frac{R_0 + r’}{L}\right).Ae^{-t/\tau}=Ae^{-t/\tau}\left(\frac{R_0 + r’}{L} - \frac{1}{\tau}\right)$
$\frac{di}{dt}+ \left(\frac{R_0 + r’}{L}\right).i =0 \rightarrow \left(\frac{R_0 + r’}{L} - \frac{1}{\tau}\right) = 0 \rightarrow \tau = \frac{L}{R_0 + r’}$
à t = 0, i = 0 $\rightarrow A = I_0$
D’où : $i = I_0.e^{-t/\tau}$ avec $\tau =\frac{L}{R_0 + r’}$
Allure courbe i = f(t) : décroissance exponentielle à partir de la valeur $i =I_0$ .

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