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Dissertation

Terminale S1 et S3

Corrige 2018 : Probabilité

Détails: Catégorie : Probabilité

1. $p(M)=\frac{\textrm{nombre de cas favorables}}{\textrm{nombre de cas possibles}}=\frac{700}{1500}=\frac{7}{15}$ .

2. a. $p(S)=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}\quad et\quad p(S/M)\frac{28}{100}=\frac{7}{25}$

b. $p(S\cap M)=p(S/M)\times p(M)=\frac{7}{15}\times\frac{7}{25}=\frac{49}{375}$

c. $p(S/M)=p(M)=\frac{p(S\cap M)}{p(S)}=\frac{49}{375}\times\frac{5}{2} =\frac{49}{150}$ .

3. Si Si est l’événement « Babou écoute i chansons Sérére en fin de journée » alors $p(S_i)=C^i_5\left(\frac{2}{5}\right)^i=\left(\frac{3}{5}\right)^{5-i}$ et la probabilité d’écouter au moins 3 chansons Sérére en fin de journée
est :

$\begin{matrix}p(S_3)+p(S_4)+p(S_5)&=&C^3_5\left(\frac{2}{5}\right)^3\left(\frac{3}{5}\right)^2+C^4_5\left(\frac{2}{5}\right)^4\left(\frac{3}{5}\right)^1+C^5_5\left(\frac{2}{5}\right)^5\left(\frac{3}{5}\right)^0\\\\&=&\left(\frac{2}{5}\right)^3\left(\frac{18}{5}+\frac{6}{5}+\frac{2}{25}\right)\\\\&=&\left(\frac{2}{5}\right)^3\left(\frac{124}{25}\right)\end{matrix}$

Donc Babou a $\left(\frac{2}{5}\right)^3\left(\frac{124}{25}\right)\times 100\%$ d’écouter au moins 3 chansons Sérère en fin de journée et Bachir a bien raison.

Corrigé 2016 :

Détails: Catégorie : Probabilité

Le nombre total de boules est n + (8 + n) + 20 = 28 + 2n.

1. Notons $p_N,p_B$ , et $p_R$ les probabilités de tirer une noire, une blanche et une rouge respectivement.

Puisque les tirages sont avec remise, ces probabilités sont indépendantes du numéro (premier ou second ) du tirage.

$p_N=\frac{8+n}{28+2n};p_B=\frac{20}{28+2n};p_R=\frac{n}{28+2n};$

Pour gagner, il faut avoir tiré une noire au premier tirage (probabilité $p_N$ ) ou avoir tiré une blanche au premier tirage et une noire au second tirage (probabilité $p_B\times pN$ ).

Donc la probabilité de gagner est $p_N+p_B\times p_N=\frac{(n+8)(n+24)}{2(n+14)^2}=f(n)$ .

2. a. Etudions d’abord les variations de f.

f est continue et dérivable sur $\mathbb{R^\ast_+}$ et $\forall x\in\mathbb{R^\ast_+},f^{\prime}(x)=2\frac{-x+16}{(x+14)^3}$ . Voici son tableau de variations.

On y voit nettement que f atteint un maximum égal à $\frac{8}{15}$
au point 16 (qui est heureusement un entier).

Pour que cette probabilité soit maximale, il faut donc et il suffit que n = 16 et cette probabilité vaut $\frac{8}{15}$ .

b. La restriction de f à $\mathbb{R^\ast}$ atteint un minimum égal à $\frac{1}{2}$ au point 1.

Pour que cette probabilité soit minimale, il faut donc et il suffit que n = 1 et cette probabilité vaut $\frac{1}{2}$ .

Quand x tend vers $+\infty$ , f(x) tend vers $\frac{1}{2}$

mais cette valeur n’est pas atteinte par f dans l’intervalle $[16,+\infty$

3. a. X prend les valeurs $x_1=p-8,s_2=q-8$ et $x_3=-8$ avec les probabilités

$\left\{\begin{array}{lllll}p_1&=&P(X=x_1)=p_n&=&\frac{2}{5}\\\\p_2&=&P(X=x_2)=p_B\times p_N&=&\frac{2}{15}\\\\p_3&=&P(X=x_3)=1-p_1-p_2&=&\frac{7}{15}\\\\&=&aussi\quad p_R+p_B\times p_N&=&\frac{n}{28+2n}+\frac{20}{28+2n}\left(1-\frac{8+n}{28+2n}\right)\end{array}\right.$

L’espérance mathématique de X est

$E(X)=p_1x_1+p_2x_2+p_3x_3=\frac{2}{5}(p-8)+\frac{2}{15}(q-8)+\frac{7}{15}(-8)=\frac{2}{5}p+\frac{2}{15}q-8$

b. La nullité de l’espérance mathématique signifie donc 3p + q = 60.

Le couple $(p_0q_0)=(20,0)$ est une solution "particulière" de l’équation diophantienne 3p + q = 60. La solution générale de cette équation est donc

$q=3k+q_0=3k$ et $p=-k+p_0=-k+20,k\in\mathbb{Z}$

Les contraintes supplémentaires sur p et q deviennent - k+ 20 > 3k > 8 c’est à dire $\frac{8}{3}<k<5.$

k vaut donc 3 ou 4 et les couples (p, q) possibles sont (17, 9) et (16, 12).

4. Pour p = 16 et q = 12, on sait d’après ce qui précède que l’espérance mathématique est nulle.

La variance vaut alors $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=E(X^2)$

$V(X)=p_1x^2_1+p_2x^2_2+p_3x^2_3=\frac{2}{5}8^2+\frac{2}{15}4^2+\frac{7}{15}8^2=\frac{18\times 16}{5}$

Et l’écart type vaut $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=4\sqrt{\frac{18}{5}}$

Corrigé 2009

Détails: Catégorie : Probabilité

Pour chaque jour $n$ , posons $\Omega _n = J_n\cup K_n$ .
Cette réunion disjointe car les deux événements $J_n$ et $K_n$ sont contraires

Les données du problème se traduisent par: $p_1=p(J_1)=\dfrac25$ et pour tout jour $n$ de l'année différent du premier jour:

1. $p\Big(J_n/J_{n-1}\Big) =\dfrac 13$ et $p\Big(K_n/K_{n-1}\Big)=\dfrac 13.$

$p\Big(J_2/J_1\Big) =\dfrac 13$

$p\Big(J_2/K_1\Big) =1-p\Big(K_2/K_1\Big) \Rightarrow$ { $p\Big(J_2/K_1\Big) =\dfrac 23.$

Pour trouver la troisième valeur, écrivons:

$J_2=J_2\cap \Omega _1=J _2\cap (J_1\cup K_1) =(J _2\cap J_1)\cup (J_2\cap K_1).$

Alors $p(J_2) =p\Big[(J _2\cap J_1)\cup (J_1\cap K_1)]=p(J _2\cap J_1)+ p(J_1\cap K_1)$

$p(J_2) =p\Big(J_2/J_1\Big) p(J_1)+ p\Big(J_2/K_1\Big) p(K_1)$

Et comme $p(K_1)=1-p(J_1)=\dfrac35:$

$p(J_2) =p\Big(J_2/J_1\Big) p(J_1)+ p\Big(J_2/K_1\Big) \Big(1-p(J_1)\Big)$
$p(J_2)= \dfrac13\dfrac25+\dfrac23\dfrac35 \Rightarrow$ $p(J_2)=\dfrac8{15}$

Puisque $J_1$ et $K_1$ sont contraires, $p(K_1)=1- p(J_1) =\dfrac35$

Par conséquent $p(J_2) = \dfrac13\dfrac25p+\Big(J_2/J_1\Big) p(J_1)+ p\Big(J_2/K_1\Big) p(K_1)$

2. Comme dans la question précédente, écrivons:

$J_n=J_n\cap \Omega _{n-1}=J _n\cap (J_{n-1}\cup K_{n-1}) =(J _n\cap J_{n-1})\cup (J_n\cap K_{n-1}).$

Alors $p(J_n) =p\Big[(J _n\cap J_{n-1})\cup (J_{n-1}\cap K_{n-1})]=p(J _n\cap J_{n-1})+ p(J_{n-1}\cap K_{n-1})$
$p(J_n) =p\Big(J_n/J_{n-1}\Big) p(J_{n-1})+ p\Big(J_n/K_{n-1}\Big) p(K_{n-1})$ \\

Et comme $p(K_{n-1})=1-p(J_{n-1})$ et $p\Big(J_n/K_{n-1}\Big)=1-p\Big(K_n/K_{n-1}\Big)$

$p(J_{n}) =p\Big(J_n/J_{n-1}\Big) p(J_{n-1})+ \Big[1-p\Big(K_n/K_{n-1}\Big)\Big]\Big(1-p(J_{n-1})\Big)$

$p(J_{n}) =\Big[p\Big(J_n/J_{n-1}\Big) +p\Big(K_n/K_{n-1}\Big)-1\Big]p(J_{n-1})+ 1-p\Big(K_n/K_{n-1}\Big)$
$p(J_{n}) =(\dfrac13+\dfrac13-1)p(J_{n-1})+ 1-\dfrac13$
{ $p_{n}=-\dfrac13p_{n-1}+\dfrac23$ }

3. a $u_n=p_n-\dfrac12=-\dfrac13p_{n-1}+\dfrac23-\dfrac12=-\dfrac13\Big(u_{n-1}-\dfrac12\Big)+\dfrac23-\dfrac12=-\dfrac13 u_{n-1}$

$(u_n)$ est donc la suite géométrique de premier terme $u_1=p_1-\dfrac12 =-\dfrac1{10}$ et de raison $-\dfrac13$ }

b. $u_n=\Big(-\dfrac13 \Big)^{n-1}u_1\Rightarrow$ $u_n=-\dfrac1{10} \Big(-\dfrac13 \Big)^{n-1}$ .

$p_n=u_n+\dfrac12\Rightarrow$ $p_n=-\dfrac1{10} \Big(-\dfrac13 \Big)^{n-1}+\dfrac12$ .

4. La probabilité que cet élève a de manger du riz est $m_n=p_{2n}=\dfrac1{10} \dfrac1{3 ^{2n-1}}+\dfrac12$ .
$m_{n+1}-m_n = \dfrac1{10} \dfrac1{3 ^{2n+1}}-\dfrac1{10}\dfrac1{3 ^{2n-1}}=\dfrac1{10} \dfrac1{3 ^{2n-1}}\Big( \dfrac1{3 ^{2}}-1\Big)= - \dfrac4{5} \dfrac1{3 ^{2n+1}}.$ Cette quantité étant négative, la suite $(m_n)$ est décroissante. De plus $m_n \geq \dfrac12$ (D'ailleurs la limite de la suite $(m_n)$ est $\dfrac12$ .)

Par conséquent $\dfrac12\leq m_n\leq m_0=p_2$ c'est à dire $\dfrac12\leq P2n\leq \frac{8}{15}$

Corrigé 2014 : Probabilité

Détails: Catégorie : Probabilité

1. L'évènement G : " Obtenir deux boules de $m\hate{e}me$ couleur" est réalisé si et seulement si on a soit deux boules noires (évènement G), soit deux boules blances , soit deux boules rouges.
Puisque ces trois évènement sont incompatilbles,

$p(G)=p(G_{n}\cup G_{b}\cup G_{r})=p(G_{n})+(G_{b})+p(G_{r)}=\frac{C^{2}_{n}}{C{2}_{9}} +\frac{C^{2}_{b}}{C^{2}_{9}}+\frac{C^{2}_{r}}{C^{2}_{9}}$

c'est à dire $g(n,b,)r=\frac{C^{2}_{n}+C^{2}_{b}+C^{2}_{r}}{C^{2}_{9}}=\frac{n(n-1)+b(b-1)+r(r-1)}{72}$

2.a. Notons $\vec{u}$ le vecteur $\vec{BN}\wedge \vec{RN}$

$\vec{u}=(9\vec{i}-9\vec{j})(9\vec{i}-9\vec{k})=81\vec{i}+81\vec{j}+81\vec{k}$ .

Le vecteur $\vec{u}$ étant non nul, les trois points et ne sont pas alignés ; ils déterminent donc un plan ayant ce vecteur pour vecteur normal ou tout autre vecteur non nul qui lui est colinéaire, par exemple, le vecteur $\vec{u_{0}}$ de coordonnées
On en déduit aussi que le plan (NBR) a pour équation cartésienne $1\times x+1\times y +1\times z +d=0$ , d étant un réel à déterminer.

Pour connaitre la valeur de d, il suffit d'exprimer que, par exemple, appartient au plan (NBR) ; ce qui signifie que 9 + d =0 c'est à dire d= -9. On trouve donc que ce plan à pour équation x + y + z - 9 = 0

b. La somme de toutes les boules étant 9, on a n + b + r = 9 ; donc le point M appartient au plan (NBR).

c. Le point M ayant pour coodonnées (n,b,r), on a : $OM^{2}=n^{2}+b^{2}+r^{2}$ donc

$g(n,b,r)=\frac{n(n-1)+b(b-1)+r(r-1)}{72}$ .

$=\frac{n^{2}+b^{2}+r^{2}-n-b-r}{72}$

$=\frac{OM^{2}-n-b-r}{72}$

$=\frac{OM^{2}-9}{72}$

d. H est le projeté orthogonal de O sur le plan NBR signifie $\left\{\begin{array}{l}\vec{OH} est collin\acute{e}aire \grave{a} \vec{uo}\\H appartient au plan(NBR) \end{array}\right.$ c'est à dire

$\left\{\begin{array}{l}t\in\mathbb{R}:\vec{OH}=t\vec{uo}\\Les coordonn\acute{e}es de H v\acute{e}rifient l'\acute{e}quation au plan (NBR)\end{array}\right.$

Ce qui est équivalent à $\left\{\begin{array}{l}t\in\mathbb{R}:H a pour coordonn\acute{e}es (t,t,t)\\t+t+t+t-9=0\end{array}\right.$

Donc les coordonnées de H sont (3,3,3)

e. Pour que g(n,b,r) soit minimale, il suffit que $OM^{2}$ le soit .OM doit donc $\hate{e}tre$ minimale ; c'est à dire M doit $\hate{e}tre$ égale à H ou n = b = r =3

Dans ce cas $g(n,b,r)=\frac{OM^{2}-n-b-r}{72}=\frac{3^{2}+3^{2}+3^{2}-9}{72}=\frac{1}{4}$

3. Ici g(n,b,r) = 1/4.La variable aléatoire X prend les valeurs -1000 (si les deux boules tirées ne sont pas de $m\hat{e}me$ couleur) et k-1000(si les deux boules tirées son t de $m\hat{e}me$ couleur) avec les probabilités respectives 1 - g(n,b,r) = 3/4 et g(n,b,r) = 1/4

Par conséquent $E(x)=-1000\frac{3}{4}+(k-1000)\frac{1}{4}=\frac{k}{4}-1000$ .Pour que le jeu soit équitable, il faut et il suffit que E(x)=0 c'est à dire k = 4000

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