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Corrigé 2011

Soit $\Omega$ l'univers : $Card\ \Omega\ =\ 9^3\ =\ 729$

A l'événement "les trois jetons tirés sont de même couleur" c'est à dire les trois jetons tirés sont rouges, blancs ou noirs.

$Card\ A\ =\ 3^3 + 4^3 + 2^3 = 27 + 64 + 8 = 99$

$P(A)=\frac{CardA}{Card\Omega} = \frac{99}{9 \times 9 \times 9} = \frac{11}{81}.$

2) B l'événement "le tirage est tricolore" ça veut dire qu'on a : 1 jeton rouge et 1 jeton blanc et 1

jeton noir dans le désordre.

$Card\ B\ =\ 3^1 \times 4^1 \times 2^1 \times \frac{3!}{1!1!1!} = 3 \times 4 \times 2 \times 6 = 144$

$P(B)=\frac{Card B}{Card \Omega} = \frac{144}{9 \times 9 \times 9} = \frac{16}{81}$

3) C l'événement "au moins un jeton parmi les trois jetons tirés est rouge".

Son événement contraire $\bar{C}$ est "tirer aucun jeton rouge".

$Card\ \bar{C}\ =\ 6^3 = 216$

$P(\bar{C})=\frac{Card\bar{C}}{Card\Omega} = \frac{6 \times 6 \times 6}{9 \times 9 \times 9} = \frac{8}{27}$ .

d'où $P(C) = 1 - P(\bar{C}) = 1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}$ .

4) D l'événement "au plus deux jetons parmi les trois jetons tirés sont blancs"

Son événement contraire $\bar{D}$ est "au moins 3 jetons parmi les trois jetons tirés

sont blancs".

C'est à dire $Card\ \bar{D}\ =\ 4^3 = 64$

$P(\bar{D})=\frac{Card\bar{D}}{Card\Omega} = \frac{64}{9 \times 9 \times 9} = \frac{64}{729}$ .

$P(D) = 1 - P(\bar{D}) = 1 - \frac{64}{729} = \frac{665}{729}$ .

Soient $\Omega$ l'univers, V = vert, J = jaune et R = rouge.

$Card\Omega = A^2_6 = 6 \times 5 = 30$

A : "Obtenir 4 points avec deux jetons de couleurs différentes"

On a VR ou RV

$Card A = A^1_1 \times A^1_2 + A^1_2 \times A^1_1 = 2 + 2 = 4$

$P(A)=\frac{CardA}{Card\Omega}=\frac{4}{30}=\frac{2}{15}$

B : "Obtenir 4 points"

C'est l'événement A ou JJ

$Card B = Card A + A^2_3 = 4 + 3 \times 2 = 10$

$P(B)=\frac{CardB}{Card\Omega}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$

C : "Obtenir au moins 4 points"

On a 4 points ou 5 points c'est à dire l'événement B ou VJ ou JV

$Card C = Card B + A^1_1 \times A^1_3 + A^1_3 \times A^1_1 = 10 + 3 + 3 = 16$

$P(C)=\frac{CardC}{Card\Omega}=\frac{16}{30}=\frac{8}{15}$

D : "Tirer deux jetons de couleurs différentes"

C'est à dire RJ ou JR ou RV ou VR ou JV ou VJ

$Card D = A^1_2 \times A^1_3 \times 2 + A^1_2 \times A^1_1 \times 2 + A^1_3 \times A^1_1 \times 2 = 12 + 4 + 6 = 22$

$P(D)=\frac{CardD}{Card\Omega}=\frac{22}{30}=\frac{11}{15}$

Ou bien :

$\bar{D}$ : "Obtenir deux jetons de même couleur"

$Card \bar{D} = A^2_2 + A^2_3 = 2 + 3 \times 2 = 8$

$P(D)= 1 - P\left(\bar{D}\right) = 1 - \frac{8}{30}= 1 - \frac{4}{15} = \frac{15-4}{15} = \frac{11}{15}$

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