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Corrigé 2015

Détails: Catégorie : algèbre

1) $\textrm{Soit la matrice A =} \begin{pmatrix}1&2&-1\\ 2&-1&5\\ 1&2&-3\end{pmatrix};\quad |A|\;=10$

$\begin{matrix}L_1\\L_2\\L_3\end{matrix}\quad\begin{pmatrix}1&2&-1&1&0&0\\ 2&-1&5&0&1&0\\ 1&2&-3&0&01\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow \begin{matrix}L_1&=&l_1&&\\ L_2&=&L_2&-&24\\ L_3&=&L_3&-&4 \end{matrix}\quad \begin{pmatrix}1&2&-1&1&0&0\\ 0&-5&7&-2&1&0\\ 0&0&-2&1&0&1\end{pmatrix}\Longrightarrow$

$A^{-1}\;=\begin{pmatrix}\frac{-7}{10}&\frac{2}{5}&\frac{9}{10}\\\\ \frac{11}{10}&\frac{-1}{5}&\frac{-7}{10}\\\\ \frac{1}{2}&0&\frac{-1}{2}\end{pmatrix}$

$\left\{\begin{array}{lllllll}x&+&2y&-&z&=&2\\ 2x&-&y&+&5z&=&6\\ x&+&2y&-&3z&=0\end{array}\right.\Longrightarrow AX=B,\quad A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\ 2&-1&5\\ 1&2&-3\end{pmatrix}, X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}2\\6\\0\end{pmatrix}$

$AX=B\Longrightarrow X=A^{-1}B\Longrightarrow X=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ donc S = {(1,1,1)}.

Corrigé 2010

Détails: Catégorie : algèbre

1) Soient $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3$ }, les quantités respectives de $B_{1}$ , $B_{2}$ et $B_{3}$ à fabriquer mensuellement pour maximiser son profit.

	$B_1$	$B_2$	$B_3$	Contraintes
$x_1$	2	3	3	180
$x_2$	1	2	1	100
$x_3$	2	1	2	226
Profit	10	15	12

2) Soient

$x_{4}$ , éventuellement le nombre d'heure de travail restant

$x_{5}$ , le nombre d'heure machine restant

$x_{6}$ , éventuellement le nombre de tonnes restant.

On a :

$\left\lbrace\begin{array}{lll} 2x_{1}+ 3x_{2}+3x_{3}+x_{4}+0x_{5}+0x_{6}=180\\ x_{1}+ 2x_{2}+x_{3}+0x_{4}+x_{5}+0x_{6}=180\\ 2x_{1}+ x_{2}+2x_{3}+0x_{4}+0x_{5}+x_{6}=180\\ 10x_{1}+ 15x_{2}+12x_{3}+0x_{4}+0x_{5}+0x_{6}=Profit\\ \end{array}\right.$

L'algorithme du simplexe

$\begin{array}{|c|lccccc|c|} \hline &x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&x_{5}&x_{6}&\\ \hline &2&2&3&3&1&0&180\\ \rightarrow&1&(2)&1&0&1&0&100\\ &2&1&2&0&0&1&226\\ \hline &10&15&12&0&0&0&_{Pmax}\\ \hline &&\uparrow&&&&&\\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|l|cccccc|c|} \hline \ &x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&x_{5}&x_{6}&\\ \hline \ \rightarrow L_{1}-3L'_{2} \rightarrow & \displaystyle\frac{1}{2}&0& \displaystyle\left(\frac{3}{2}\right) &1&- \displaystyle\frac{3}{2}&0&30\\ &&&&&&&\\ \ L'_{2}\rightarrow L_{2/2}&\displaystyle \frac{1}{2}&1& \displaystyle \frac{1}{2}&0& \displaystyle \frac{1}{2}&0&50\\ &&&&&&&\\ \ L_{3}-L'_{2}\rightarrow L_{3}& \displaystyle \frac{3}{2}&0& \displaystyle \frac{3}{2}&0&-\displaystyle \frac{1}{2}&1&176\\ &&&&&&&\\ \hline \ L_{4}-15L'_{2}\rightarrow L_{4}&\displaystyle \frac{5}{2}&0& \displaystyle \frac{9}{2}&0&\displaystyle-\frac{15}{2}&0&P_{max}-750\\ &&&&&&&\\ \hline \ &&&\uparrow&&&&\\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|l|cccccc|c|} \hline \ &x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&x_{5}&x_{6}&\\ \hline L"_{1}\rightarrow L_{1}& \displaystyle\left(\frac{1}{3}\right)&0&1&\displaystyle \frac{2}{3}&-1&0&20\\ &&&&&&&\\ L'_{2}\displaystyle\frac{1}{2}L'_{1}\rightarrow L_{2}&\displaystyle \frac{1}{3}&1&0&\displaystyle -\frac{1}{3}&1&0&40\\ &&&&&&&\\ L'_{3}\displaystyle\frac{3}{2}L'_{1}\rightarrow L_{3}& 1&0& 0&-1&1&1&146\\ &&&&&&&\\ \hline \ L'_{4}-\displaystyle\frac{9}{2}L'_{1}\rightarrow L_{4}&1&0& 0&-3&-3&0&P_{max}-840\\ &&&&&&&\\ \hline \ &\uparrow&&&&&&\\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|l|cccccc|c|} \hline \ &x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&x_{5}&x_{6}&\\ \hline L"_{{1/3}}\rightarrow L'''& 1&0&3&2&-3&0&60\\ &&&&&&&\\ \ L"_{2}-\displaystyle\frac{1}{3}L"_{1}\rightarrow L'''_{2}&0&1&-1&-1&2&0&20\\ &&&&&&&\\ \ L"_{3}-L"_{1}\rightarrow L'''_{3}& 0&0& -3&-3&4&1&86\\ &&&&&&&\\ \hline \ L"_{4}-L"_{1}\rightarrow L'''_{4}&0&0& -3&-5&0&0&P_{max}-90\\ &&&&&&&\\ \hline \end{array}$

L'entreprise doit produire mensuellement $x_{1}=60B_{1}$ et $x_{2}=20B_{2}$ et pas de $B_{3}$ .
Son profit max est 900 milliers de FCFA

Corrigé 2007

Détails: Catégorie : algèbre

$A=\left( \begin{array}{rrr} 1&-1&0\\ 2&0&1\\ 0&1&2 \end{array} \right)$

$A^2=\left( \begin{array}{rrr} -1&-1&-1\\ 2&-2&2\\ 2&1&5 \end{array} \right)$

$det A = \left| \begin{array}{rr} 0&1\\ 1&-2\\ \end{array} \right| + \left| \begin{array}{rr} 2&1\\ 0&2\\ \end{array} \right|=-1+4=3\neq0$

donc A est inversible

$\begin{array}{rrr|rrr|l}-1&-1&0&1&0&0&L_1 \\ 2&0&1&0&1&0&L_2 \\ 0&1&2&0&0&1&L_3 \\\hline 1&-1&0&1&0&0&L_1 \\ 0&2&1&-2&1&0&L_2 \leftarrow L_2-2L_1\\ 0&1&2&0&0&1&L_3 \\ \hline 2&0&1&0&1&0&L_1 \leftarrow L_2+2L_1\\ 0&2&1&-2&1&0&L_2\\ 0&0&-3&-2&1&-2&L_3 \leftarrow L_2-2L_3\\ \hline 6&0&0&-2&4&-2&L_1 \leftarrow L_3+3L_1 \\ 0&6&0&-8&4&-2&L_2 \leftarrow L_3+3L_2 \\ 0&0&-3&-2&1&-2& L_3 \\ \hline 1&0&0&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&\\ 0&1&0&-\frac{4}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&\\ 0&0&1&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\\ \end{array}$

$A^{-1}=\frac{1}{3} \left( \begin{array}{rrr} -1&2&-1\\ -4&2&-1\\ 2&-1&2 \end{array} \right)$

$\begin{array}{l}x - y = 3\\2x + z = -1\\ y + 2z = -8 \end{array}$

si et seulement si $A=\left( \begin{array}{rrr} 1&-1&0\\2&0&1\\ 0&1&2 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\-1\\-8\end{array}\right)$

$AX = B \Longleftrightarrow A^{-1}AX = A^{-1}B \Longleftrightarrow X = A^{-1}B$

$\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \frac{1}{3} \left( \begin{array}{rrr} -1&2&-1\\ -4&2&-1\\ 2&-1&2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3\\ -1\\ -8 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 1\\ -2\\ -3 \end{array} \right)$

$\left\{ \begin{array}{l} x=1\\ y=-2\\ z=-3 \end{array} \right.$

$S=\{(1;-2;-3)\}$

corrigé 2011

Détails: Catégorie : algèbre

$A=\left( \begin{array}{rrr} 2&1&0\\ -1&0&1\\ 1&-1&2 \end{array} \right)$

Je fixe la ligne N°1

$det A =2(-1)^{1+1}\times \left| \begin{array}{rr} 0&1\\ -1&2\\ \end{array} \right| + 1(-1)^{1+2}\times \left| \begin{array}{rr} -1&1\\ 1&2\\ \end{array} \right|+0=2(0+1)-1(-2-1)$

det(A) = 2 + 3 = 5

ou
$\begin{tabular}{|ccc|c} 2&1&0&\\ -1&0&1&0+0+1=1\\ 1&-1&2&\\ 2&1&0&0-2-2=-4\\ 1&-1&2&\\ -1&0&1&\\ \end{tabular}$

det(A) = 1 - (-4) = 5

det(A) $\neq$ 0 donc A est une matrice inversible

$\begin{tabular}{rrr|rrr|l}2&1&0&1&0&0&L_1\\-1&0&1&0&1&0&L_2\\1&-1&2&0&0&1&L_3\\\hline 2&1&0&1&0&0&L_1\\0&1&-2&1&2&0&L'_2 \leftarrow L_1+2L_2\\0&3&-4&1&0&-2&L'_3 \leftarrow L_1-2L_3\\-2&0&2&0&2&0&L'_1 \leftarrow L'_2-L_1\\\hline 0&1&2&1&2&0&L'_2\\0&0&10&2&6&2&L''_3\leftarrow 3L'_2-L'_3\\10&0&0&2&-4&2&L''_1 \leftarrow L_{3}-5L_{1}\\\hline 0&-5&0&-3&-4&2&L''_2 \leftarrow L''_3-5L'_2\\0&0&10&2&6&2&L_3\\1&0&0&\frac{1}{5}&\frac{-2}{5}&\frac{1}{5}&L''_1/10\\0&1&0&\frac{3}{5}&\frac{4}{5}&\frac{-2}{5}&L''_2/-5\\0&0&1&\frac{1}{5}&\frac{3}{5}&\frac{1}{5}&L'_3/10\\ \end{tabular}$

$A^{-1}=\frac{1}{5} \left( \begin{array}{rrr} 1&-2&1\\ 3&4&-2\\ 1&3&1 \end{array} \right)$

$\left\{ \begin{array}{l} 2x + y = -1\\ -x + z = 3\\ x - y + 2z = -3 \end{array} \right.$

Le système s'écrit

$\left( \begin{array}{rrr} 2&1&0\\ -1&0&1\\ 1&-1&2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} -1\\ 3\\ -3 \end{array} \right)$

Sous forme matricielle on a :

$AX = B \Longleftrightarrow A^{-1}AX = A^{-1}B \Longleftrightarrow I_3X = A^{-1}B$

donc $X = A^{-1}B$

$\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \frac{1}{5} \left( \begin{array}{rrr} 1&-2&1\\ 3&4&-2\\ 1&3&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -1\\ 3\\ -3 \end{array} \right)= \frac{1}{5} \left( \begin{array}{rrr} 1&-6&-3\\ -3&+12&+6\\ -1&+9&-3 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} -2\\ 3\\ 1 \end{array} \right)$

$\left\{ \begin{array}{l} x=-2\\ y=3\\ z=1 \end{array} \right.$

S={(-2;3;1)}

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