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Corrigé 2010

Détails: Catégorie : suites numériques

$\left\lbrace\begin{array}{lll} U_{0} =1\\ U_{n+1} =-\frac{1}{3}(2U_{n}+5);n\geq 1\\ \end{array}\right.$

$V_{n}=U_{n}+1$

1) Montrons que $V_{n+1}=qU_{n}$

$\displaystyle V_{n+1}=U_{n+1}+1=-\frac{1}{3}(2U_{n}+5)+1=-\frac{2}{3}U_{n}-\frac{5}{3}+1$

$\displaystyle V_{n+1}=-\frac{2}{3}U_{n}-\frac{2}{3}=-\frac{2}{3}(U_{n}+1)=-\frac{2}{3}V_{n}$

$\displaystyle V_{n+1}=-\frac{2}{3}V_{n}$ donc $(V_{n})$ est une suite géométrique de raison $\displaystyle q=-\frac{2}{3}$

2) $\displaystyle V_{n}=V_{0}\times q^{n}$ $V_{0}=U_{0}+1=1+1=2$

$\displaystyle V_{n}=2\times \left(-\frac{2}{3}\right)^{n}$

$V_{n}=U_{n}+1$ $\Rightarrow$ $U_{n}=V_{n}-1$

$\displaystyle U_{n}=2\times \left(-\frac{2}{3}\right)^{n}-1$

3) $\displaystyle S_{n}=V_{0}+V_{1}+V_{2}+.....+V_{n}=V_{0}\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

$\displaystyle S_{n}=2 \times \frac{1- \left(-\frac{2}{3} \right)^{n+1}}{1+\frac{2}{3}}$

$\displaystyle S_{n}=\frac{6}{5}\left[1-\left(-\frac{2}{3}\right)^{n+1}\right]\right]$

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}=\frac{6}{5}$

$\left\lbrace\begin{array}{lll} \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n+1}=0\\ \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\left[1-\left(-\frac{2}{3}\right)^{n+1}\right]=1\\\end{array}\right.$

Corrigé 2011

Détails: Catégorie : suites numériques

$\left\{ \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=u_n - \ln 2 \end{array} \right.$

On pose $v_n = e^{u_n}$

1) Montrons que $v_{n+1} = qv_n$

$v_{n+1}= e^{u_{n+1}}=e^{u_n - \ln 2}= e^{u_n} \times e^{- \ln 2}= e^{u_n} \times e^{\ln \frac{1}{2}}$

$v_{n+1}= \frac{1}{2}\times e^{u_n}= \frac{1}{2}v_n$

d'où $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\frac{1}{2}$ et de premier terme $v_0 = e^{u_0} = e^1 = e$

$v_n = v_0 \times q^n = e \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$ ; $v_n = e^{u_n} \Longleftrightarrow u_n = \ln v_n$

$u_n = \ln e\times \left(\frac{1}{2}\right)^n = \ln e + \ln\left(\frac{1}{2}\right)^n = 1 - n \ln 2$

$v_n = e \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$

Corrigé 2009

Détails: Catégorie : suites numériques

$u_0=7000$

$u_n=1,05u_{n-1}+500\ et\ v_n = u_n + 10000$

1) Montrons que $v_{n+1}=qv_n$

$v_{n+1} = u_{n+1} + 10000$ avec $u_{n+1}=1,05u_{n}+500$

donc $v_{n+1} = 1,05u_{n} + 500 + 10000 = 1,05u_{n} + 10500 = 1,05\left(u_{n} + 10000\right)=1,05u_n$

donc ( $v_n$ ) est une suite géométrique de raison q = 1,05.

2) $v_n=v_0q^n$

$v_0 = u_0 + 10000 = 7000 + 10000 = 17000$

$v_n=17000(1,05)^n$

$u_n = v_n - 10000 = 17000(1,05)^n - 10000$

3) $S_n = v_0 + v_1 + v_2 + \cdots + v_n$

$S_n = v_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=17000\times\frac{1-(1,05){n+1}}{-0,05}$

$S_n=340000\left[(1,05){n+1}-1\right]$

4) a) $u_g$ est la population en Mars 2009

$u_g= 17000(1,05)^9 - 10000 = 26372$

b) Le nombre des votants en Mars 2009 est : 26372 $\times$ 0,75 = 19779

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