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Corrigé Epreuve 2001: Produit vectoriel ( 03,5 pts)

Détails: Catégorie : Produit vectoriel

1. a) Détermination de l'ensemble ( T )

$\overrightarrow{MC}\left( -\frac{1}{2}-x,-y-z\right)$ \ ; $\overrightarrow{ MD}\left( \frac{1}{2}-x,-y,-z\right)$ ; $\overrightarrow{ME}\left( -x,1-y,z\right)$

$\overrightarrow{MC}\wedge \overrightarrow{MD}\left( 0,-z,y\right)$

$\left\Vert \overrightarrow{MC}\wedge \overrightarrow{MD}\right\Vert =\left\Vert \overrightarrow{ME}\right\Vert \Longrightarrow \sqrt{z {{}^2} +y {{}^2} }=\sqrt{x {{}^2} +\left( 1-y\right) {{}^2} +z {{}^2} }$

$\Longleftrightarrow x {{}^2 +1-2y=0$

donc $T$ : $\left\{ M\left( x,y,z\right) \text{ tel que }y=\frac{1}{2}x {{}^2} +\frac{1}{2}\text{ \ }z\in \text{ } \mathbb{R} \right\}$

c'est un parabolole de.

1. b) Détermination de $(\Delta )$

le plan $\left( 0,\overrightarrow{e_{2}}\overrightarrow{e_{3}}\right)$ a
pour équation $x=0$

or pour $x=0$ $\ \ y=$ $\frac{1}{2}$ sur $T$

donc $\left( \Delta \right)$ $(G)$ $=\left\{ \left( x,y,z\right) \text{ tels que }x=0,y=\frac{1}{2},z\in \mathbb{R} \right\}$

c'est la droite définie par $\left\{ \begin{array}{c} x=0 \\ y=\frac{1}{2} \\ z=k\text{ }k\in \mathbb{R} \end{array} \right.$

2. a) Comparaison des distance des points de $(T)$ au point $E$ et $\grave{a}$ la droite $(CD)$ .

Soit $M(x,y,z)$ un point de $(T)$ : on a $x {{}^2} +1-2y=0$ (1)

donc $EM=\sqrt{x {{}^2} +\left( 1-y\right) {{}^2} +z {{}^2} }=\sqrt{y {{}^2} +z {{}^2} }$ en utilisant (1)

De même $d\left( M,\left( CD\right) \right) -\frac{\left\Vert \overrightarrow{MC}\wedge \overrightarrow{CD}\right\Vert }{\left\Vert \overrightarrow{CD}\right\Vert }$

Or $\overrightarrow{MC}\wedge \overrightarrow{CD}\left( 0,-z,y\right)$ et $\left\Vert \overrightarrow{CD}\right\Vert =1$

donc $d\left( M,\left( CD\right) \right) =\sqrt{z {{}^2} +y {{}^2} }$

par suite $EM=d(M,(CD))$

2. b) Soit $M(x,y,z)$ appartenant $\grave{a}$ l'intersection de $(T)$ et du
plan $P:z=0$

$M$ est équidistant de $E$ et de $(CD)$ (d'après le 2.a) et
appartient $\grave{a}$ $P$ donc $M$ appartient $\grave{a}$ la parabole de
foyer $E$ et de directrice $(CD)$ .

Si $M$ appartient $\grave{a}$ la parabole de foyer $E$ et de directrice $CD$

on a : $M$ appartient au plan $P:z=0$

- $ME=d(M,(CD))$ d'où $\sqrt{x {{}^2} +\left( 1-y\right) {{}^2} +z {{}^2} }=\sqrt{z {{}^2} +y {{}^2} }$

donc $x {{}^2} +1-2y=0$

par suite $M\subset (T)$

donc $M\subset (T)\cap \left( P\right)$

$(T)$ est donc la parabole de foyer $E$ et de directrice $CD$ .

$\left( T\right) \cap \left( P\right)$ est donc la parabole de foyer de $E$
et de direction CD.

Corrigé Epreuve 2003 :produit vectoriel et détermination d’ensemble de points dans l’espace

Détails: Catégorie : Produit vectoriel

1) $\Delta$ est une droite de l'espace, F un point n'appartenant pas à
$\Delta,$ K le projeté orthogonal de F sur $\Delta$ et A un point de $\Delta$ tel que $AK=1$

$\overrightarrow{MK}\wedge\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MK}\wedge\left( \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA}\right)$

$\overrightarrow{MK}\wedge\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MK} \wedge\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MK}\wedge\overrightarrow{KA}$

or $\overrightarrow{MK}\wedge\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{0}$

donc $\left\Vert \overrightarrow{MK}\wedge\overrightarrow{MA}\right\Vert =\left\Vert \overrightarrow{MK}\wedge\overrightarrow{KA}\right\Vert$

aussi $\left\Vert \overrightarrow{MF}\right\Vert =\frac{~1}{~2}\left\Vert \overrightarrow{MK}\wedge\overrightarrow{MA}\right\Vert =\frac{~1} {~2}\left\Vert \overrightarrow{MK}\wedge\overrightarrow{KA}\right\Vert$

d'où le résultat : $\left\Vert \overrightarrow{MF}\right\Vert =\frac{~1}{~2}\left\Vert \overrightarrow{MK}\wedge\overrightarrow {KA}\right\Vert$

$d(M,\Delta)=d(M,$ $\left( AK\right) )$

$d(M,\left( AK\right) )=\frac{\left\Vert \overrightarrow{MK}\wedge \overrightarrow{KA}\right\Vert ~}{~\left\Vert \overrightarrow{KA}\right\Vert }$ or $\left\Vert \overrightarrow{KA}\right\Vert =1$

ainsi $d(M,\Delta)=\left\Vert \overrightarrow{MK}\wedge\overrightarrow {KA}\right\Vert$

d'où $\ MF=$ $\frac{~1}{~2}d(M,$ $\Delta)$

$\frac{MF}{d(M,\Delta)}=\frac{1}{2}$

Dans le plan $(P_{1})=P(K,$ $\overrightarrow{KA},\overrightarrow{KF})$

$M\in(P_{1})$ , $\Delta\in(P_{1})$ et $M$ vérifie $\frac{~MF} {d(M,\Delta)~}=\frac{~1}{~2}$ et $F\notin\Delta$

$M$ décrit l'ellipse d'excentricité $\frac{~1}{~2},$ de foyer F et
de directrice associée $\Delta.$

3) $(P_{2})$ est le plan passant par K et perpendiculaire à $\Delta$

Comme P $_{2}\perp\Delta$ et $\Delta=\left( KA\right)$ donc $\overrightarrow {KA} est normal au plan {tex}P_{2}$

donc $M\in P_{2}$ $\Longleftrightarrow\overrightarrow{MK}.\overrightarrow {KA}=0$

$MF=\frac{~1}{~2}MK\times KA\times\left\vert \sin\widehat{\left( \overrightarrow{MK},\overrightarrow{KA}\right) }\right\vert$ or $KA=1$

d'où $MF=\frac{~1}{~2}MK\times\left\vert \sin\widehat{\left( \overrightarrow{MK}.\overrightarrow{KA}\right) }\right\vert$ et
$\overrightarrow{MK}.\overrightarrow{KA}=0$

b) l'intersection de $(\Gamma)$ et $(P_{2})$ est l'ensemble des points qui
vérifient :

$MF=\frac{~1}{~2}MK\times\left\vert \sin\widehat{\left( \overrightarrow {MK}.\overrightarrow{KA}\right) }\right\vert$ et $\overrightarrow {MK}.\overrightarrow{KA}=0$

comme $\overrightarrow{MK}.\overrightarrow{KA}=0$ donc $\left\vert \sin\left( \overrightarrow{MK}.\overrightarrow{KA}\right) \right\vert =1$

donc $MF=\frac{~1}{~2}MK\times\left\vert \sin\left( \overrightarrow {MK}.\overrightarrow{KA}\right) \right\vert =\frac{~1}{~2}MK$

cette intersection est donc l'ensemble des points de $(P_{2})$ tels
que $MK=2MF$

nature de cette intersection:

$MF=$ $\frac{~1}{~2}MK$ et $MF=\frac{~1}{~2}d(M,$ $\Delta)$

$\overrightarrow{MK}.\overrightarrow{KA}=0$

donc $\overrightarrow{MK}.\overrightarrow{KA}=0$

$\frac{~d(MF)}{d(M,\Delta)~}=\frac{~1}{~2}$

$\Longleftrightarrow M$ est un sommet de l'ellipse d'excentricité
$\frac{~1}{~2}$ dont un des foyer est F et la directrice $\Delta$

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