ABCD tétraèdre régulier
1) G centre de gravité du tétraèdre
a) donc est l'iso barycentre de , ,,
D' après l'associativité du barycentre G est barycentre de
c'est à dire et G est barycentre de (K,2)
donc G d'où
b) On a barycentre de
donc et sont alignés d'où coupe en .
2) réflexion par rapport au plan et réflexion par rapport au plan
a) on a :
Donc est le plan médiateur du segment d'où et
est le plan médiateur de
d'où et
b)
G est milieu de
est le milieu de donc ;
est milieu de donc
donc est le milieu d' où{/tex}
c) on a et , n'est pas l'identité
donc est une rotation d'axe on oriente par
l'angle de est
1 ) a )
Pour montrer que est le plan médiateur des ségments et il suffit de montrer que 3 points non alignés de (ABG) sont équidistants des extrémités
de ces segments on a :
comme arête du cube
comme diagonale de carrés isométriques
pour les mêmes raisons .
Donc est le plan médiateur de
De même :
comme diagonales de carrés isométriques
comme arête du cube
pour les mêmes raisons
Donc est le plan médiateur de
b) Pour : les points sont invariants
les points et sont symétriques
les points et sont symétriques
donc le cube est invariant pour
Pour :les 4 points sont invariants
les points et d'une part et et d'autre part sont symétriques.donc le cube est invariant par Pour : on a
comme hypoténuses de triangles rectangles isométriques
car centre de gravité de la face
car centre du cube
Donc est le plan médiateur de qui partage le cube en deux parties isométriques .
Donc dans la réflexion de plan
Le cube reste invariant .
2-a) et étant des réflexions
est une rotation dont l'axe est l'intersection des plans de ces réflexions or et sont des plans distincts ayant en commun les points et .
donc d'où f a pour axe .
b)
(ACF) est perpendiculaire à l'axe de la rotation (BH) donc la restriction de f a (ACF) est une rotation de centre le point d'intersection de (BH) et de (ACF) .
Appelons K ce point et l'angle de la rotation .
On a
donc
3-a) on a : car les plans et sont perpendiculaires et se coupent suivant
donc est une rotation .
b) Les plans des réflexions se coupent suivant donc
est l'axe de .
En prenant la restriction de à le centre de cette
restriction est .
o
l'angle de la rotation est
En orientant par on a :
EXAMEN.SN V2.0 © RESAFAD SENEGAL - Avenue Bourguiba x rue 14 Castors, Dakar (Sénégal) - Tél/Fax : +221 33864 62 33