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Corrigé Epreuve 1999 : Isométrie dans l’espace (04 pts)

Détails: Catégorie : Application de l’espace

ABCD tétraèdre régulier

1) G centre de gravité du tétraèdre

a) donc $G$ est l'iso barycentre de $A$ , $B$ , $C$ , $D$

D' après l'associativité du barycentre G est barycentre de $(I,2)$

$(J,2)$ c'est à dire $G$ $(IJ)$ et G est barycentre de (K,2) $(L,2)$

donc G $(KL)$ d'où $(IJ)$ $\cap (KL)=G$

b) On a $G$ barycentre de $(H,3)$ $(C,1)$

donc $G,H$ et $C$ sont alignés d'où $(CG)$ coupe $(ABD)$ en $H$ .

2) $S_{1}$ réflexion par rapport au plan $(BIC)$ et réflexion par rapport au plan $(ALC)$

$r=S_{2}\bigcirc S_{1}$

a) on a : $\left. \begin{array}{ccc}AC=CD \\ AB=BD \\ AI=ID\end{array}\right\}$

Donc $(BIC)$ est le plan médiateur du segment $[AD]$ d'où $S_{1}(A)=D$ et $S_{1}(D)=A$

est le plan médiateur de $[BD]$

$\left. \begin{array}{c} BL=LD \\ BA=AD \\ BC=CD \end{array} \right\} donc\left( ALC\right)$

d'où $S_{2}(B)=D$ et $S_{2}(D)=B$

b) $r\left( A\right) =S_{2}\bigcirc S_{1}\left( A\right) =S_{2}(D)$

$r\left( B\right) =S_{2}\bigcirc S_{1}\left( B\right) =S_{2}(D)$

$r\left( C\right) =S_{2}\bigcirc S_{1}\left( C\right) =S_{2}(D)$

$r\left( G\right) =?$

G est milieu de $[KL]$

$r(K)$ est le milieu de $[BC]$ donc $r(K)=J$ ;

$r(L\prime )$ est milieu de $[AD]$ donc $r(L)=I$

$(carr(D)=A)$ donc $r(G)$ est le milieu $[IJ]$ d' où{/tex} $r(G)=G$

c) on a $r(G)=G$ et $r(C)=C$ , $r(A)=B$ $r$ n'est pas l'identité
donc $r$ est une rotation d'axe $(GC)=(CH)$ on oriente $(HC)$ par

l'angle de $r$ est $\left( \overrightarrow{HA},\overrightarrow{HB}\right) = \frac{2\pi }{3}$

Corrigé Epreuve 2000 : Composition de réflexions (04 pts)

Détails: Catégorie : Application de l’espace

1 ) a )

Pour montrer que $(ABG)$ est le plan médiateur des ségments $\left[ ED\right]$ et $\left[ FC\right]$ il suffit de montrer que 3 points non alignés de (ABG) sont équidistants des extrémités

de ces segments on a :

$AD=AE$ comme arête du cube

$BD=BE$ comme diagonale de carrés isométriques

$GE=GD$ pour les mêmes raisons .

Donc $(ABG)$ est le plan médiateur de $\left[ ED\right]$

De même :

$AF=AC$ comme diagonales de carrés isométriques

$BF=BC$ comme arête du cube

$GF=GC$ pour les mêmes raisons

Donc $(ABC)$ est le plan médiateur de $\left[ FC\right]$

b) Pour : les $4$ points $A,B,G,H$ sont invariants

les points $E$ et $D$ sont symétriques

les points $C$ et $F$ sont symétriques

donc le cube est invariant pour $S_{1}$

Pour $S_{2}$ :les 4 points $B,C,H,E$ sont invariants

les points $D$ et $G$ d'une part et $F$ et $A$ d'autre part sont symétriques.donc le cube est invariant par Pour $S_{3}$ : on a

$ID=IC$ comme hypoténuses de triangles rectangles isométriques

$JD=JC$ car $J$ centre de gravité de la face $DCGH$

$OD=OC$ car $o$ centre du cube

Donc $(IOJ)$ est le plan médiateur de $\left[ DC\right]$ qui partage le cube en deux parties isométriques .

Donc dans la réflexion de plan $\left( \overrightarrow{i},o,\overrightarrow{j}\right)$

$S_{3}:$

$A\leftrightarrow B$

$C\leftrightarrow D$

$E\leftrightarrow F$

$G\leftrightarrow H$

Le cube reste invariant .

2-a) $S_{1}$ et $S_{2}$ étant des réflexions $f=S_{1}$
$o$ $S_{2}$ est une rotation dont l'axe est l'intersection des plans de ces réflexions or $(ABG)$ et $(BCH)$ sont des plans distincts ayant en commun les points $B$ et $H$ .

donc $\left( ABC\right) \cap \left( BCH\right) =\left( BH\right)$ d'où f a pour axe $(BH)$ .

$f(A)=S_{1}$ $o$ $S_{2}\left( A\right) =C$

$f(C)=S_{1}$ $o$ $S_{2}$ $\left( C\right) =F$

$f(F)=A$

(ACF) est perpendiculaire à l'axe de la rotation (BH) donc la restriction de f a (ACF) est une rotation de centre le point d'intersection de (BH) et de (ACF) .

Appelons K ce point et l'angle de la rotation .

On a $\left( \overrightarrow{KA};\overrightarrow{KC}\right) =\left( \overrightarrow{KC};\overrightarrow{KF}\right) =\left( \overrightarrow{KF}; \overrightarrow{KA}\right) =\alpha \left( 2\pi \right)$

$\left( \overrightarrow{KA};\overrightarrow{KC}\right) +\left( \overrightarrow{KC};\overrightarrow{KF}\right) +\left( \overrightarrow{KF};\overrightarrow{KA}\right) =3\alpha$

$\left( \overrightarrow{KA};\overrightarrow{KC}\right) +\left( \overrightarrow{KC};\overrightarrow{KF}\right) +\left( \overrightarrow{KF};\overrightarrow{KA}\right) =\left( \overrightarrow{KA}; \overrightarrow{KA}\right) =0\left( 2\pi \right)$

donc $\alpha =\frac{+2\pi }{3}$

3-a) on a : $r=S_{3}$ $o$ $S_{1}$ car les plans $(ABG)$ et $(IOJ)$ sont perpendiculaires et se coupent suivant $(OI)$

$g=r$ $o$ $f=S_{3}$ $o$ $S_{1}$ $o$ $S_{1}$ $o$ $S_{2}$

$=S_{3}$ $o$ $S_{2}$

donc $g$ est une rotation .

b) Les plans des réflexions se coupent suivant $(OJ)$ donc $(OJ)$
est l'axe de $g$ .

En prenant la restriction de $g$ à $(GCD)$ le centre de cette
restriction est $J$ .

$g\left( G\right) =S_{3}$ o $S_{2}\left( G\right) =S_{3}\left[ S_{2}\left( G\right) \right] =S_{3}\left( D\right) =C$

l'angle de la rotation est $\left( \overrightarrow{JG},\overrightarrow{JC} \right)$

En orientant $(GCD)$ par $(OJ)$ on a :

$\left( \overrightarrow{JG},\overrightarrow{JC}\right) =\frac{+\pi }{2}$

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