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corrigé epreuve 2002 : Nuage de points

Détails: Catégorie : Statistiques

1) $N=\frac{A-1970}{5}$

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Ann\'ee A&1970&1975&1980&1985&1990&1995&2000\\\hline T\%&10&25&41&60&69&80&86\\\hline\end{tabular}$

2) Représentons le nuage de point de la série statistique (T,N)

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline N&0&1&2&3&4&5&6\\\hline T&10&25&41&60&69&80&86\\\hline\end{tabular}$

3) Calculons les coordonnées du point moyen G

on a $X_{G}=\frac{\underset{1}{\overset{7}{\sum}}\text{ }y_{i}}{n} =\frac{0+1+2+3+4+5+6}{7}=\frac{21}{7}=3$

on a $Y_{G}=\frac{\overset{7}{\underset{1}{\sum}}\text{ }y_{i}}{n} =\frac{10+25+41+60+69+80+86}{7}=\frac{371}{7}=53$

$G(3,53)$

4) Equation de la droite de régression de N en T par la méthode des
moindres carrés.

$D_{N/T}$ $x=\alpha y+\beta\qquad$ avec $\alpha=\frac {Cov(x,y)}{V(y)}$

$Cov(x,y)=\frac{\overset{7}{\underset{1}{\sum}}\text{ }x_{i\text{ } .\text{\ }}y_{i}}{n}-\bar{X}$ $\bar{Y}\qquad\qquad\beta=\overline {X\ \ }-\alpha\overline{Y\ \ }$

$Cov(x,y)=\frac{10\times0+1\times25+2\times41+3\times60+4\times 69+5\times80+6\times86}{7}-3\times53=\frac{1479}{7}-3\times53=52,3$

$v(y)=\frac{\underset{1}{\overset{7}{\sum}}\text{ }y_{i}^{2}}{n} -\overline{Y\ \ }^{2}=\frac{10^{2}+25^{2}+41^{2}+60^{2}+69^{2}+80^{2}+86^{2} }{7}-(53)^{2}=700$

$\Longrightarrow\alpha=\frac{52,3}{700}=0,07$

$\beta=\overline{X\ \ }-\alpha\overline{Y\ \ }=3-53(0,07)=-0,7$

$D_{N/T}$ : $x=0,07y-0,7$

5) Indiquer à partir de quelle année, on peut estimer que 95% des
entreprises de ce pays seront équipées en informatique.

Si T = 95 alors $N = 0,07\times(95) - 0,7 = 5,95$

donc N = 5,95 $\Longrightarrow A=5(5,95)+1970=1999,75$

donc on a A = 2000

95\% des entreprises de ce pays seront équipées en informatique à
partir de l'an 2000.

Corrigé 2000 : Statistiques à 2 variables

Détails: Catégorie : Statistiques

Par la méthode des moindre carrés, on a obtenu l'équation de la
droite de régression de y en x suivante:
$y=9x+0,6$

1) Calculons de $\overline{X\ }$

$\overline{X\ }=\frac{\overset{5}{\underset{i=1}{\sum}}X_{i}}{5}=1,6$

2) Expression de $\overline{Y\ \ }$ en fonction de a.

$\overline{Y\ \ }$ = $\frac{\overset{5}{\underset{i=1}{\sum}}y_{i}}{7}% =\frac{55+a}{5}$

3) Trouvons la valeur de a.

on a $y=9x+0,6=ax+b$ avec $b=\overline{Y\ }-a\overline{X\ }$

donc $\frac{55+a}{5}-9\times(1,6)=0,6$

d'où $a=20$

4) Soit r le coefficient de corrélation de la série. déterminons
la valeur de r.

$\bigskip$ On a $r=\frac{cov(X,Y)}{\sqrt{V(X)\ }\sqrt{V(Y)\ }}$ ,

$cov(X,Y)=\frac{\overset{5}{\underset{i=1}{\sum}}X_{i}Y_{i}}{n}-\overline {X\ }\overline{Y\ }$

$V(x)=\frac{\overset{5}{\underset{i=1}{\sum}}X_{i}^{2}}{n}-\overline {X\ }^{2}$

On obtient $r\approx0,9$ .

0,9 voisin de 1, on peut ainsi affirmer que cette corrélation est forte.

5) Pour $x=3,2$ , on calcule $y=9(3,2)+0,6=29,4$

Corrigé Epreuve 1998 : Equipement en informatique

Détails: Catégorie : Statistiques

1) Représentation du nuage de points de la série statistique
$x_{i}, y_{i}).$

2) Calcul des coordonnées du point moyen G.

$\overline{X\ }=\frac{\overset{7}{\underset{i=1}{\sum}}X_{i}}{7}% =\dfrac{1+2+3+4+5+6}{7}=3$

$\overline{Y\ }=\frac{\overset{7}{\underset{i=1}{\sum}}Y_{i}}{7}% =\dfrac{10+25+41+60+69+80+86}{7}=53$

G(3,53).

3) valeur approchée du coefficient de corrélation linéaire.

on a r= $\frac{cov(X,Y)}{\delta(X)\delta(X)}$ ,

$cov(X,Y)=\dfrac{\overset{7}{\underset{i=1}{\sum}}X_{i}Y_{i}}{n}%\overline{X\ }\overline{Y\ }=$

$\delta(X)=\sqrt{V(X)\ }$ $V(x)=\frac{\overset{7}}{\underset{i=1}{\sum}}% X_{i}^{2}}{n}-\overline{X\ }^{2}$

r $\simeq0,99$

4) Equation de la droite de regression ( $\Delta)$ de y en x par la méthode
des moindres carrés.

$y=ax+b$ , avec $a=\dfrac{cov(X,Y)}{V(X)}=$ , $b=\overline{Y\ \ }% -a\overline{X\ \ }$

$y=13,07x+13,79$

5) ordonnée du point H de ( $\Delta)$ d'abscisse x=7

Si x=7, $y=13,07(7)+13,79=105,28$ . On en déduit qu'en 2000, le taux
d'équipement dépassera 105 %.

Cela signifie que tous les entreprises seront informatisées à cette date.

Corrigé Epreuve 2001 :Nuage de points

Détails: Catégorie : Statistiques

1. Représentation du nuage de points ; G(0,93 ; 36,5)

2.a) Cov (X,Y) = 210

b) Soit le coefficient de corrélation de X et de Y, r = 0,94

3.a) Soit (D) la droite de régression. (D) : y = 9,44 x +27,69.

b) y = 49 donc , x = 2,257 tonnes ;

on estime donc, à 2,257 t le besoin
de l'entreprise en matière première pour un chiffre d'affaire de 49 000 000.

Corrigé Epreuve 2003 : Budget publicitaire et chiffre d’affaire

Détails: Catégorie : Statistiques

Une société investit de manière continue en publicité .

Le budget publicitaire ( BP) et le chiffre d'affaires (CA) sont connus sur 10
mois consécutif selon le tableau suivant.

Unité : milliers de francs CFA

On considére la série statistique $(x_{i},y_{i})$

avec 1 $\leq i\leq$ 9 et y $_{i}=z_{i+1}$

1) Le tableau de la nouvelle série $(x_{i},y_{i})$ est

2) a) Calculons la covariance de x et y

$Cov(x,y)$ $=$ $\frac{\underset{1}{\overset{9}{\sum}}x_{i}y_{i}}{n}% -\overline{X\ }\ \overline{Y\ }$

$\overline{X\ }$ = $\frac{\sum x_{i}}{n}=\frac{10+12+15+13+10+9+8+6+8} {9}=\frac{91}{9}\bumpeq10$

$\overline{X\ }=10$

$\overline{Y\ }=\frac{\overset{9}{\underset{1}{\sum}}Y_{i}}{n}=\frac {79+99+115+109+80+70+60+37+61}{9}=\frac{710}{9}$

$\overline{Y\ }=78,8$

$\frac{\sum x_{i}y_{i}}{n}=\frac{10\times79+12\times99+15\times 115+13\times109+10\times80+9\times70+8\times60+6\times37+8\times61}{9}% =\frac{7740}{9}=860$

$Cov(x,y)=860-10\times78,8=64,12$

$Cov\left( x,y\right) =64,12$

b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire de x et y à $10^{-3}pr\acute{e}s$

$r=\frac{Cos\left( x,y\right) }{\sqrt{y\left( x\right) }\sqrt{Y\left( y\right) }}$

$V(x)=\frac{9}{1}\sum x_{i}^{2} n-\overline{X\ }^{2}=\frac{983}{9}-\left( \frac{91}{9}\right) ^{2}\backsimeq 6$ 98

$V\left( y\right) \frac{9}{1}\sum yi^{2}{n}- \overline{Y\ }^{2}=\frac{61138}{9}-\left( \frac{710}{9}\right) ^{2} = 569$ 65

$r=\frac{64,12}{\left( 2,64\right) \left( 23,86\right) }$

$r\backsimeq1,017$

3) Déterminons l'équation de la droite de regression de y en x

$y=ax+b$ avec $a=$ $\frac{Cov\left( x,y\right) }{V\left( x\right) }$ et
$b=$ $\overline{Y\ }-a\overline{X\ }$

$a=$ $\frac{64,12}{6,98}=9,2$

$b=$ $\overline{Y}-a\overline{X}=78,8-\left( 9,2\right) \left( 10\right) =-14,1$

$y=9,2x-14,1$

4) Donner une estimation du chiffre d'affaires du onzième mois.

Le chiffre d'affaire du onzième mois correspond à\ $x_{10}=7$

$y=$ $\left( 9,2\right) \times7-14,1=50,3$

Le chiffre d'affaire du onzième mois est d'environ 50.300 F

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