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Terminale S1S3

Sciences de la Vie et de la Terre

L'immunologie

Terminale S1 et S3

Corrigé 2018 : Fonction numérique

Détails: Catégorie : Analyse

$f(x)=\frac{x^2}{x^2+2x-3}$

$\begin{array}{lll}Df&=&\mathbb{R}\{1 ;-3\}\\\\&=&]-\infty ; -3[U]-3 ; 1[u]1 ; +\infty [\end{array}$

2) $\lim_{x\to - \infty}f(x)=1$ $\lim_{x\to + \infty}f(x)=1$

$\lim_{x\to - 3^-}f(x)=+ \infty$ $\lim_{x\to - 1^-}f(x)=- \infty (2)$

$\lim_{x\to - 3^+}f(x)=- \infty$ $\lim_{x\to - 1^+}f(x)=+\infty$

$\begin{tabular}{lll}D : y&=&1\;asymptote\;horizontale\\\\D' : x&=& -3\;asymptote\;verticale\\\\D'' : x &= &1\;asymptote\;verticale\end{tabular}$

$f'(x)=\frac{2x(x^2+2x-3)-x^2(2x+2)}{(x^2+2x-3)^2}$

$=\frac{2x^3+4x^2-6x-2x^3-2x^2)}{(x^2+2x-3)^2}$

$=\frac{2x^2-6x}{(x^2+2x-3)^2}$

5) $f'(x)>0\;si\;x\in]-\infty,\;0[U]3,\; +\infty[$

$f'(x)<0\;si\;x\in]0, 1[U]1,3$

$\begin{array}{lll}T : y&=&f'\frac{3}{2}(x-\frac{3}{2})+f(\frac{3}{2})\\\\&=&-2(x-\frac{3}{2})+1\\\\&=&-2x+3+1\\\\T\; :y&=&-2x+4\end{array}$

image

Corrigé 2018 : Fonction : Calcul Intégral

Détails: Catégorie : Analyse

$h(x)=\frac{2e^x+1}{e^x+1}$

1) h(x) existe si $e^x+1\neq 0$ ou $e^x+1\neq 0\forall x\in\mathbb{R}$

donc $Dh=\mathbb{R}$

2) $h(x)=\frac{1+e^x}{1+e^x}$ ? on a $h(x)=\frac{1+e^x}{1+e^x} =\frac{1+e^x+e^^x}{1+e^x} = \frac{2e^x+1}{e^x+1}=he^x$

donc $\forall x \in\mathbb{R},\; h(x)=1+\frac{e^x}{e^x+1}$

3) Soit $k(x)=x+ln(e^x+1)$

k est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$

ou $\propto k'(x)=1+\frac{e^x}{1+e^x}=h(x)$

$\begin{array}{lll}I=\int^2_0h(x)\;dx&=&\int^2_0\left(1+\frac{e^x}{1+e^x}\right)dx\\\\&=&k(x)]^2_0\\\\&=&k(2)-k(0)\\\\&=&2+ln(e^2+1)-ln2\\\\&=&2+ln\left(\frac{e^2+1}{2}\right)\end{array}$

Corrigé Epreuve 1997 : Fonction

Détails: Catégorie : Analyse

La fonction numérique f est définie par f $\left( x\right) =\frac{x-1}{x+1}$

1) Etudions la fonction f.
$\lim\limits_{x \to -\infty}$

Soit $Df$ l'ensemble de définition de la fonction f.

$D_f$ $\ = \mathbb{R}-\left\{ -1\right\} =\left] -\infty,-1\right[ \cup\left] -1,+\infty\right[$

$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) =\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{x-1}{x+1}=1,$

$\lim\limits_{x \to -1^{-}}f(x) =\lim\limits_{x \to -1^{-}}{\lim}\frac{x-1}{x+1}=+\infty$ ,

$\lim\limits_{x \to -1^{+}} f(x) =\lim\limits_{x \to -1^{+}}\frac{x-1}{x+1}=-\infty,$

$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) =\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{x-1}{x+1}=1$

Calculons la dérivée de f

f'(x) = $\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^{2}}=\frac{2}{\left( x+2\right) ^{2}}$

Tableau de variation de f:

2) Déterminons les équations des asymptotes $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) =1$ , donc la droite d'équation $y=1$ est asymptote à C.

$\lim\limits_{x \to -1}f(x) =\infty$ , donc la droite d'équation $x=1$ est asymptote à C.

Vérifions que $I\left( -1,1\right)$ est centre de symétrie pour C

$f\left[ 2\times\left( -1\right) -x\right] =f\left( -2-x\right) =\frac{x+3}{x+1}$

$2\times1-f\left( x\right) =2-\frac{x-1}{x+1}=\frac{x+3}{x+1}$

$f\left[ 2\times\left( -1\right) -x\right] =2\times1-f\left( x\right)$

donc $I\left( -1,1\right)$ est centre de symétrie pour C

3) Courbe représentative de f dans $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$

Soit T $_{1}$ la tangente à C au point d'abscisse $x=1$

T $_{1} : y=f$ $^{\prime}\left( 1\right) \left( x-1\right) +f\left(1\right) ;$

$y=\frac{1}{2}\left( x-1\right)$

Soit $T_{-2}$ la tangente à C au point d'abcisse $x=-2$

$T_{-2}:y=f$ $^{\prime}(-2)\left( x+2\right) +f\left( -2\right) ;$

$y=2x+7$

On trace la courbe C dans le repère $\left(O, \overrightarrow{i} ,\overrightarrow{j}\right)$

$\frac{x-1}{x+1}$

Partie B

La fonction g est définie par g $\left( x\right) =\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}$

1) Etudions la fonction g.

Soit $Dg$ l'ensemble de définition de la fonction g.

$Dg=% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion$

$\lim\limits_{x \to -\infty}g(x)=\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}=-1,$

$\lim\limits_{x \to +\infty}g(x) =\lim\limits_{x \to +\infty}g(x)\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}=1$

Calculons la dérivée de g

$g^{'}(x) =\frac{e^{x}(e^{x}+1)-(e^{x}-1)e^{x}}{(e^{x}+1)^{2} }=\frac{2e^{x}}{\left( e^{x}+2\right) ^{2}}$

Tableau de variation de f:

Déterminons les équations des asymptotes à C $^{\prime}.$

$\lim\limits_{x \to -\infty}g(x)=-1,$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}g(x) =1,$ donc les droites d'équation respectrives y=-1 \ et \ y=1 sont asymptotes à C'.

On a Df = $% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion$

et $g(-x)=\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}=-\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}=-g(x)$

On en déduit que g est impaire. d'o\`{u} O est centre de symétrie pour C'.

Soit T' la tangente à C' en O. l'équation de T' est donnée par:

$y=g\prime\left( 0\right) \left( x-0\right) +g\left( 0\right)$

$y=\frac{1}{2}x$

On trace la courbe de g dans le même repère (O, $\overrightarrow{i}%$ , $\overrightarrow{j}$ )

$\frac{x-1}{x+1},\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}$

Corrigé Epreuve 1998 : Fonction

Détails: Catégorie : Analyse

On considère la fonction numérique d'une variable réelle
définie par:

$f(x)=x-2+\ln(\frac{x-2}{x+2})$

1) Etude du signe de $\frac{x-2}{x+2}$

On a $\frac{x-2}{x+2}\succ0$ sur $\left] -\infty,-2\right[ \cup\left] 2,+\infty\right[$ et $\frac{x-2}{x+2}\prec0$ sur $\left] -2,2\right[$

On en déduit le domaine de définition de f:

f est définie si $\frac{x-2}{x+2}\succ0,donc$ df= $\left] -\infty ,-2\right[ \cup\left] 2,+\infty\right[$

2) On pose u(x)= $\frac{x-2}{x+2}$ , v(x)= $\ln(\frac{x-2}{x+2}).$

On a u $\prime(x)=\frac{(x+2)-(x-2)}{(x+2)^{2}}=\frac{4}{(x+2)^{2\ }}$

v $\prime(x)=\frac{\frac{4}{(x+2)^{2\ }}}{\frac{x-2}{x+2}}=\frac {4}{(x-2)(x+2)}$

f $\prime(x)=1+\frac{4}{(x-2)(x+2)}=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}$

3) Limites de f aux bornes de df.

$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to -\infty}(x-2+ln(\frac{x-2}{x+2}) =-\infty$

car $\lim\limits_{x \to -\infty}(x-2)=-\infty$

et $\lim\limits_{x \to -\infty}ln(\frac{x-2}{x+2})=0$

$\lim\limits_{x \to -2^{-\ }}f(x)=\lim\limits_{x \to -2^{-\ }}x-2+\ln(\frac{x-2}{x+2}) =+\infty$

car $\lim\limits_{x \to -2^{-\ }}(x-2)=-4$

et $\lim\limits_{x \to -2^{-\ }}ln(\frac{x-2}{x+2})=+\infty$

$\lim\limits_{x \to -2^{+ }}f(x)=\lim\limits_{x \to -2^{+ }}(x-2+\ln(\frac{x-2}{x+2}) =-\infty$

car $\lim\limits_{x \to -2^{+ }}(x-2)=0$

et $\lim\limits_{x \to -2^{+ }}ln(\frac{x-2}{x+2})=-\infty$

$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}(x-2+\ln(\frac{x-2}{x+2}) =+\infty$

car $\lim\limits_{x \to +\infty}(x-2)=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}ln(\frac{x-2}{x+2})=0$

Tableau de variations de f:

4) On a $\lim\limits_{x \to \infty}\left[ f(x)-(x-2)\right] =\lim\limits_{x \to -\infty}ln(\frac{x-2}{x+2})=0,$

donc la droite d'équation $y=x-2$ est asymptote à ( $Cf$ ) la courbe
représentative de f.

5) $\Omega(0,2)$ est centre de symétrie pour ( $Cf$ ) si $f(2\times 0-x)+f(x)=2\times2$

$f(2\times0-x)+f(x)=f(-x)+f(x)=-x-2+\ln(\frac{-x-2}{-x+2})+x-2+\ln(\frac {x-2}{x+2})=4$

donc $\Omega(0,-2)$ est centre de symétrie pour ( $Cf$ )

6) Tracer ( $Cf$ ) et les asymptotes

$f(x)=x-2+\ln(\frac{x-2}{x+2}),$ $y=x-2,$ $x=-2,$ $x=2$

Corrigé Epreuve 2003 : Fonction

Détails: Catégorie : Analyse

f $\left( x\right) =x\ln x-3x$

1) Déterminons l'ensemble de définition de f noté Df.

f est définie ssi $(x\ln x-3x)$ est définie c'est-à-dire x $>0$

Df = $\left] 0,+\infty\right[$

2) $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left( x\right) =\lim_ {x\rightarrow0^{+}}\left( x\ln x-3x\right)$

on a $\lim_{x\rightarrow0^{+}}x\ln x=\lim_{x\rightarrow+\infty }-\frac{\ln x}{x}=0$ et $\lim_{x\rightarrow0^{+}}3x=0$

donc $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left( x\right) =0$

$\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left( x\right) =\lim_ {x\rightarrow+\infty}\left( x\ln x-3x\right) =\lim_{x\rightarrow +\infty}x\left( \ln x-3\right)$

on a $\lim_{x\rightarrow+\infty}x=+\infty$ et
$\lim_{x\rightarrow+\infty}\left( \ln x-3\right) =+\infty$

d'où $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left( x\right) =+\infty$

3) Calculons $f\prime\left( x\right)$

on a f est dérivable sur $\left] 0,+\infty\right[$ comme produit et
somme de fonctions dérivables sur $\left] 0,+\infty\right[$

$f\prime\left( x\right) =\ln x+x\times\frac{1}{x}-3=-2+\ln x$

$f\prime\left( x\right) =-2+\ln x$

- déterminons le sens de variations de f

f' $\left( x\right) >0\iff\ln x-2>0\iff\ln x>2\iff x>e^{2}$

donc f est croissant sur $\left] e^{2},+\infty\right[$ et decroissant sur
$\left] 0,e^{2}\right[$

- dressons le tableau de variations de f:

$f(e^{2})=e^{2}\times 2-3e^{2}=-e^{2}$

4) équation de la tangente $\left( T_{1}\right)$

à (Cf) au point d'abcisse $x_{0}=1$

elle est donnée par $y=f\prime\left( x\right) \left( x-x_{0}\right) +f\left( x_{0}\right)$

$f\left( 1\right) =-3$

$f\prime\left( 1\right) =-2$

donc $y=-2\left( x-1\right) -3$

$y=-2x-1$

- équation de la tangente $\left( T_{2}\right)$

à (Cf) au point d'abcisse $x_{0}=e^{3}$

elle est donnée par y = f' $\left( x_{0}\right) \left( x-x_{0}\right) +f\left( x_{0}\right)$

$f\left( e^{3}\right) =3e^{3}-3e^{3}=0$

$f\prime\left( e^{3}\right) =3-2=1$

$y=$ $\left( x-e^{3}\right) +0$

$y=x-e^{3}$

5) Représentation graphique de $\left( T_{1}\right)$ , $\left( T_{2}\right)$ , et de la courbe.

6) Calculer la dérivée de g définie sur $% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion _{\ast}^{\ast}$

par $g\left( x\right) =\frac{x^{2}\ln x}{2}$

g est dérivable sur $\mathbb{R} _{\ast}^{+}$

et on a $g^{\prime}\left( x\right) =\frac{1}{2}\left( 2x\ln x+\frac{x^{2} }{x}\right) =x\ln x+\frac{x}{2}$

comme $f\left( x\right) =x\ln x-3x$

on obtient $f\left( x\right) =g^{\prime}\left( x\right) -\frac{x}{2}-3x$

$f\left( x\right) =g^{\prime}\left( x\right) -\frac{7}{2}x$

donc une primitive de f sur $% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion _{+}^{\ast}$

est $g\left( x\right) -\frac{7}{4}x^{2}$

7) A est l'aire de la portion de plan comprise entre (Cf) l'axe des abcisses
et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=e^{3}$

$g\left( x\right) -\frac{7}{4}x^{2}$ etant une primitive de f sur $% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion _{+}^{\ast}$

on a A = - $\left[ g\left( x\right) -\frac{7}{4}x^{2}\right] _{1}^{e^{3}% }\times(0,5)^{2}cm^{2}$

$A=-\left[ \frac{x^{2}\ln x}{2}-\frac{7}{4}x^{2}\right] _{1}^{e^{3}}% \times(0,5)^{2}cm^{2}=-\left[ (\frac{3\times e^{6}}{2}-\frac{7}{4}% e^{6})+\frac{7}{4}\right] \times0,25cm^{2}$

$A=$ $\left( \frac{e^{6}}{4}-\frac{7}{4}\right) \times0,25Cm^{2}$

$A=\frac{e^{6}-7}{16}Cm^{2}$

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