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Corrigé 2015 :

Détails: Catégorie : Statistiques

1. le coefficient de corrélation linéaire r est défini par $r=\frac{Cov(X,Y}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}$ .

D'où $r\approx 0,69$ (01 pt)

2.a) La droite de regression de Y en X, $(D_{Y/X})$ à pour équation y = 92,59x - 4,35. (01 pt)

b) il faut investir 3,29 milliards de FCFA si l'on désire un chiffre d'affaire de 300 milliards (0,5 pt)

Corrigé 2013 : Statistiques à deux variables

Détails: Catégorie : Statistiques

1. (a) $r =\frac{cov(X,Y)}{\sigma X\sigma Y}, r=-0,973.$ Il y a une forte corrélation.

(b) La droite de régression de $Y$ en $X$ est :

$y=ax+b$ avec $a =\frac{cov(X,Y)}{V(X)}$

et $b =\bar{Y}-a\bar{X}$

$y = -0, 874x + 4, 12$

(c) Si $x = 6$ alors $y = -1, 124$ .

Cette équation ne permet pas d’estimer le degré de salinité car au $6^{\'ieme}$ mois de pluie le degré de salinité ne peut être négatif.

2. Soit $Z = ln(Y - 1)$

(a) $\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline xi&0&1&2&3&4\\\hline zi&1,182&0,875&0,010&-1,83&-4,61\\\hline\end{tabular}$

(b) $r =\frac{cov(X,Z)}{\sigma{X}\sigma{Z}},r=-0,944$

(c) La droite de régression de $Z$ en $X$ est : $z = ax + b$ avec $a =\frac{cov(X,Z)}{V(X)}$

et $b =\bar{Z}-a\bar{X}$

$z = -1, 428x + 1, 982$

– On a $z = ln(y - 1)$ et $z = -1,428x + 1,982$ d’où

$ln(y - 1) = -1,428x + 1,982$

$y=e^{-1,428x + 1,982}+1$

Ainsi $y=e^{-1,428x + 1,982}+1$

(d) Si $x = 6$ alors $y = 1, 001$ . Le degré de salinité estimé au $6^{i\grave{e}me}$ est positif, il est très proche de celui du quatrième mois et lui est inférieur. Donc l’équation $y=e^{-1,428x + 1,982}+1$ nous permet de faire cette estimation.

corrigé epreuve 2008 : Nuage de points

Détails: Catégorie : Statistiques

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x(ann\'ees)&0&1&2&4&7&11&12\\ \hline y(kg)&3,5&6,5&9,5&14&21&32,5&34\\ \hline \end{tabular}$

1) Représenter le nuage de points de cette série.

Insérer schéma

2) Déterminer les coordonnées du point moyen G puis placer G

G $(\bar{x},\bar{y})$

$\bar{x} = \frac{1}{N}\sum{x_i}= \frac{0+1+2+4+7+11+12}{7} = \frac{37}{7} \approx 5,3$

$\bar{y} = \frac{1}{N}\sum{y_i}= \frac{3,5+6,5+9,5+14+21+32,5+34}{7}= \frac{121}{7} = 17,3$

3) a)Déterminer le coefficient de correlation linéaire r

$r = \frac{Cov(x,y)}{\sigma(x)\sigma(y)}$

$Cov(x,y)= \frac{1}{7}(6,5+19+56+7 \times 21+11\times 32,5+12\times 34)-5,28 \times 17,28$

$Cov(x,y)= \frac{1}{7}(6,5+19+56+147+ 357,5 + 408)- 91,2$

$Cov(x,y)= \frac{994}{7} - 91,2 = 50,8$

$\sigma^2(x) = \frac{1}{N}(\sum{x_i^2})- \bar{x}^2= \frac{1}{7}(1+2^2+4^2+7^2+11^2+12^2)-(5,28)^2$

$\sigma(x)^2 = \frac{335}{7} - 27,9 = 47,8 -27,8 = 20 \Longrightarrow \sigma(x)= \sqrt{20}= 4,47$

$\sigma^2(y) = \frac{1}{N}(\sum{y_i^2})- \bar{y}^2 = \frac{1}{7(2994)-(17,28)}^2 = 427,7-298,5$

$\sigma^2(y) = 129,2 \Longrightarrow \sigma(y)=\sqrt{129,2} = 11,3$

$\Longrightarrow r = \frac{50,8}{4,5 \times 11,3}= 0,290$

b)

4) Donner une équation de la droite de regression (D) de y en x

on a $y - \bar{y} = a(x-\bar{x})$

$a = \frac{Cov(x,y)}{V(x)} = \frac{50,8}{20} \approx 2,5$

$y = a(x-\bar{x}) + \bar{y} = 2,5(x - 5,3) + 17,3$

y = 2,5 x + 4

graphiquement à partir de 4,5 ans le poids sera supérieur à 15 kg

y = 15 $\Longrightarrow$ $x = \frac{15-4}{2,5} = 4,4$

corrigé epreuve 2010 : statistiques à deux variables

Détails: Catégorie : Statistiques

Le tableau ci-dessous donne le nombre d'années d'exercice X des ouvriers d'une entreprise et leur salaire mensuel Y en milliers de francs.

Notons $X_{i}$ les modalités de X et $n_{i}$ l'effectif avec $1\leq i\leq6$ .

Soit $y_{j}$ les modalités de Y et $n_{j}$ l'effectif avec $1\leq j\leq4$ . N est l'effectif total.

1) Déterminons a et b pour que la moyenne

$\displaystyle\overline{x}=\frac{596}{59}$ et $\displaystyle\overline{y}=\frac{8450}{59}$ ;

On sait que $\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{1}^{6}n_{i}x_{i}}{N}$ et $\displaystyle\overline{y}=\frac{\displaystyle\sum_{1}^{4}n_{j}y_{j}}{N}$

$\displaystyle\overline{x}=\frac{2(a+2)+(6\times13)+'10\times10)+(14\times11)+18\times(b+17)+(22\times5)}{a+b+58}$ et

$\displaystyle\overline{y}=\frac{75(a+5)+(10\times125)+(38\times 175)+225(b+5)}{a+b+58}$

On obtient ainsi le système suivant :

$\left\{\begin{array}{lll} 239a-233b=4900\\ 161a-193b=2580\\ \end{array}\right.$

Doù a=40 et b=20

2) On suppose que a=40 et b=20.

En associant à chaque valeur $x_{i}$ de X la moyenne $m_{i}$ de la série conditionnelle : $(y/x=x_{i})$ , on a le tableau suivant:

a) Calculons le coefficient de corrélation linéaire entre X et m.

Déterminons d'abord les moyennes $\overline{x}$ et $\overline{m}$ , les variances $V_{X}$ et $V_{M}$ , les écarts-types $\sigma _{X}$ et $\sigma _{y}$ et la variance de x et y

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}}{N}$ et $\displaystyle\overline{m}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{6}m_{i}}{N}$

$\displaystyle V(X)=\frac{\displaystyle\sum x_{i}}{N}-\overline{x}$ et $\displaystyle V(M)=\frac{\displaystyle\sum m_{i}}{N}-\overline{m}$

$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ et $\sigma(M)=\sqrt{V(M)}$

$\overline{x}=12$ $\overline{m}=156$ $V(X)\approx 46.66$

$V(M)=1933,33$ $\sigma(x)\equiv 6,83$ $\sigma(M)\approx 43,96$ et $cov(X,M)\equiv 267,33$

Le coefficient de corrélation $\displaystyle r=\frac{cov(x,m)}{\sigma x\sigma m}$

$r\approx0,89$

Puisque r est proche de 1, il ya alors une forte corrélation entre X et m.

b) La droite de régression de $m$ en $x$ $D_{m/x}$ a pour équation $m=ax+b$ avec

$\displaystyle a=\frac{cov(x,m)}{V(x)}$ et $b=\overline{m}-a\overline{x}$

$a\approx5,73$ et $b\approx87,25$

$D_{m/x}$ : $m=5,73x+87,25$

c) Si x=30 alors $m\approx259,128$ d'où le salaire moyen d'un ouvrier ayant 30 ans d'ancienneté est environ égal à $259130 F$

Corrigé corrélation et droites de régression (3 pts - 2009)

Détails: Catégorie : Statistiques

1. (D₁) droite de régression de Y en X ayant pour équation : y = ax + b, on a $a = \frac{cov(X,Y)}{V(X)}$ et $b =\bar{y} - a\bar{x}$

(D₂) droite de régression de X en Y ayant pour équation : x = a’y + b’, on a a’ = $\frac{cov(Y,X)}{V(Y)}$ et $b =\bar{x}$ - a’ $\bar{y}$

On en déduit que aa’ = $\frac{cov(X,Y)}{V(X)} \frac{cov(Y,X)}{V(Y)} = \frac{\left(cov(X,Y)\right)^{2}}{V(X)V(Y)} = \left( \frac{cov(X,Y)}{\sigma(X) \sigma(Y)\right)^{2}}$

aa’ = r²

(D₁) droite de régression de Y en X ayant pour équation réduite y = 2,4x, on a : a = 2,4 et b = 0

(D₂) droite de régression de X en Y ayant pour équation réduite : $x = \frac{3,5}{9}y + \frac{24}{9}$ , on a : a’ = $\frac{3,5}{9}$ et b’ = $\frac{24}{9}$

D’après la question précédente, le coefficient de corrélation vérifie :

r² = aa’ = $2,4 \times \frac{3,5}{9} = \frac{14}{15}$

Puisque $r = \frac{con(X,Y)}{\sigma(X) \sigma(Y)}$ , que $\sigma(X)$ et $\sigma(Y)$ sont positifs par définition et que cov (X,Y) est positif par hypothèse, alors r est positif.

Donc $r = \sqrt{\frac{14}{15}}$

On a $\left\{ \begin{array}{ll}- a \bar{x} + \bar{y} = b (1) \\ \bar{x} - a^\prime \bar{y} = b^\prime (2) \\ \end{array} \right.$

Nous multiplions l’équation (2) par a et obtenons : $a\bar{x} - aa^\prime\bar{y} =a b^\prime$

Le système devient : $\left\{ \begin{array}{ll} - a \bar{x} + \bar{y} = b (1) \\ a\bar{x} - aa^\prime\bar{y} = ab^\prime (2’) \\ \end{array} \right.$

La somme membre à membre des 2 équations donne : $(1 - aa^\prime)\bar{y} = b + ab^\prime$

Nous déduisons $\bar{y} = \frac{b + ab^\prime}{1 - r^{2}}$

Pour trouver $\bar{x}$ , je remplace $\bar{y}$ par sa valeur dans (2)

soit :

$\bar{x} - a^\prime\frac{b + ab^\prime}{1 - r^{2}} = b^\prime$

$\Longleftrightarrow \bar{x} = b^\prime + a^\prime \frac{b + ab^\prime}{1 - r^{2}}$

$\bar{x} = \frac{b^\prime - r^{2}b^\prime + a^\prime b + a^{\prime} ab^\prime}{1 - r^{2}}$

$\bar{x} = \frac{b^\prime - aa^{\prime}b^\prime + a^\prime b + a^{\prime} ab^\prime}{1 - r^{2}}$

$\bar{x} = \frac{b^\prime + a^\prime b}{1 - r^{2}}$

Application numérique :

$\frac{1}{1 - r^{2}} = 15$ , on a $\bar{y} = 15 \times 2,4 \times \frac{24}{9}$ et $\bar{x} = 15 \times \frac{24}{9}$

Donc $\bar{y} = 96$ et $\bar{x} = 40$

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