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Probabilités

Corrigé Epreuve 2001: Epreuves de Bernoulli(04 pts)

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Catégorie : Probabilités


1/ Soit \Omega l'univers de cette épreuve on a Card \Omega =A_{10}^{2}=45.

 

Card A=A_{4}^{2}=6

 

donc P(A)=\frac{2}{15}

 

En appelant (x,y) le couple des entiers naturels tirés :

 

B=\{(x,y) tels que x > 2yx, y\in \{1,2,......10\}

 

on a par comptage : Card B=20

 

DoncP(B)= \frac{4}{9}

 

NB : On peut aussi retrouver Card B en utilisant le quadrillage et la droite d'équation x=2y

 

2/

. Appelons C l'événement "B est réalisé 2 fois exactement"

 

. En appelant D l'événement "B est réalisé au moins une fois"

 

P(c)=C_{7}^{2}(\frac{4}{9})^{2}(\frac{5}{9})^{5}

 


\bar{D} devient l'événement "B n'est aucune fois"

 

 

P(\bar{D})=C_{7}^{2}(\frac{5}{9})^{7}

 

 

P(D)=1-C_{7}^{2}(\frac{5}{9})^{7}

 

 

 

 

Corrigé Epreuve 2000: Variable aléatoire(05 pts)

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Catégorie : Probabilités


P_{1} la probabilité de tirer le jeton numéroté i ;  i\in \{1,2,3,4,5,6\}

 

Les Pi forment une progression arithmétique de raison \frac{1}{30}.

 

1/ a. Montrer que P_{1}=\frac{1}{12}

 

on a P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}+P_{5}+P_{6}=1

 

or P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}+P_{5}+P_{6}=\frac{6}{2}(P_{1}+P_{6})=3(P_{1}+P_{6})

 

car \qquad somme =\frac{Nombre\text{ }de\text{ }terme}{2}(1^{er}terme+dernier terme)

 

P_{6}=P_{1}+5\ast \frac{1}{30} \ car(P_{n}=P_{1}+(n-1)r)

 

D'où 3(P_{1}+P_{1}+\frac{5}{30})=1 \Leftrightarrow 2P_{1}+\frac{1}{ 6}=\frac{1}{12}

 

\Leftrightarrow 2P_{1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\Leftrightarrow 2P_{1}=\frac{1}{6} \Leftrightarrow 2P_{1}=\frac{1}{12}

 

b. P_{2}=P_{1}+\frac{1}{30}=\frac{7}{60} ; P_{3}=P_{2}+\frac{1}{30}= \frac{9}{60} ; P_{4}=P3+\frac{1}{30}=\frac{11}{60} ; P_{5}=P_{4}+\frac{1 }{30}=\frac{13}{60} ; P_{6}=P_{5}+\frac{1}{30}=\frac{15}{60}

 

NB:Vérification à faire:\frac{1}{12}+\frac{7}{60}+ \frac{9}{60}+\frac{11}{60}+\frac{13}{60}+\frac{15}{60}=\frac{60}{60}=1

 

2/ Epreuve : "tirage successif avec remise de 3 jetons" X la variable aléatoire égale au nombre de jetons portant un numéro pair.

 

a) loi de probabilité de X.

 

Les valeurs prises par X sont : 0,1,2,3. p(X=0) est la probabilité de tirer trois numéros impairs.

 

Le nombre de cas possibles est : 6^{3}

 

Le nombre de cas favorables à l'événement  (x=0) est :3^{3}

 

D'où

 

p(X=1)=\frac{3^{3}}{6^{3}}=\frac{3^{3}}{(2\ast 6)^{3}}=\frac{1}{2^{3}}= \frac{1}{8}

 

p(X=1) la probabilité de tirer deux jetons portant un numéro impair et un jeton portant un numéro pair.

 

Le nombre de cas favorables à l'événement est : (X=1) est:(3\ast 3)\ast 3

 

nombre de choix pour deux jeton "impairs" : 3^2

 

nombre de choix pour un jeton "pairs" : 3

 

nombre d'apparitions du jeton pair : 3

 

d'où p(X=1)=\frac{3^{4}}{6^{3}}=\frac{3}{8}

 

p(X=2) est la probabilité de tirer deux jetons "pairs" et un jeton "impairs".

 

Le nombre de cas favorables est : (3^2\ast 3)\ast 3=3^{4}

 

D'où p(X=2)=\frac{3^{4}}{6^{3}}=\frac{3}{8}

 

p(X=3) est la probabilité de tirer 3 jetons pairs nombre de cas favorables est 3^{3}

 

p(X=3)=\frac{3^{3}}{6^{3}}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}

 

\begin{array}{ccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ P(X=x) & \frac{1}{8} & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} & \frac{1}{8} \end{array}

 

b) Espérance mathématique de X

 

E(X)=0\ast \frac{1}{8}+1\ast \frac{3}{8}+2\ast \frac{2}{8}+3\ast \frac{1}{8} =\frac{12}{8}=\frac{3}{2}, E(X)=1.5

 

Ecart - type de X :

 

\sigma _{x}=\sqrt{V(X)}, \ V(X)=E(X^2)-(E(X^2)

 

E(X^2)=0^2 \ast \frac{1}{8}+1^2 \ast \frac{3}{8}+2^2 \ast \frac{3}{8}+3^2 \ast \frac{1}{8}=\frac{1}{8}=\frac{24}{8}=3

 

V(X)=3-\left(\frac{3}{2}\right)^2 =\frac{12}{4}-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}

 

D\prime o\grave{u} \ \sigma _{x}=0,866

 

3) Epreuve "tirage simultané de 2 jetons" 

 

Nombre de cas possibles est : C_{6}^{2}(\frac{6\ast 5}{2})=15

 

a) S : valeur absolue de la différence des numéros

 

Loi de probabilité de S

 

Les valeurs prises par S sont : 1,2,3,4,5

 

p(S=1) est la probabilité de "tirer deux jetons dont la valeur absolue des numéros est 1"

 

c'est à dire tirer"\{1,2\}ou\{2,3\}ou\{3,4\}ou\{4,5\}ou\{5,6\}

 

Donc p(S=1)=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}

 

p(S=2) est la probabilité de tirer  "\{1,3\}ou\{2,4\}ou \{3,5\}ou\{4,6\} p(S=2)=\frac{4}{15}"

 

p(S=3) est la probabilité de "tirer\{1,4\}ou\{2,5\}ou\{3,6\}"

 

Donc p(S=3)=\frac{-3}{15}=\frac{1}{5}

 

p(S=4) est la probabilité de : "tirer\{1,5\}ou\{2,6\}"

 

Donc p(S=4)=\frac{2}{5}

 

p(S=5) est la probabilité de : "tirer\{1,6\}"

 

p(S=5)=\frac{1}{5}

 

\begin{array}{cccccc} k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ p(S=k) & \frac{1}{3} & \frac{4}{15} & \frac{1}{5} & \frac{2}{15} & \frac{1}{ 15} \end{array}

 

b) La probabilité de gagner est p(S\geq 4)

 

p(S\geq 4)=p(S=4)+p(S=5)

 

=\frac{2}{15}+\frac{1}{15}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}=0.2

.

La probabilité de gagner est de 0,2.

 

Corrigé Epreuve 1997: Variables aleatoires (04 pts)

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Catégorie : Probabilités

 


1/ On tire simultanément 3 cartes d'un jeu de 32 cartes.

 

L'ensemble des éventualités est l'ensemble des cartes à 3 éléments de l'ensemble des cartes.

 

Donc CardA\Omega =C_{32}^{3}=4960

 

A : "les cartes sont des as" C_{n}^{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}

 

A=C_{4}^{3}=4

 

P(A)=\frac{CardA}{Card\Omega }=\frac{1}{1240}=0,0008

 

B : "Il y a au moins "2 couleurs" parmi ces 3 cartes"

 

On a \bar{B} c'est l'événement "les 3 cartes sont de même couleur"

 

Card\bar{B}=4\ast C_{8}^{3}=2

 

P(B)=\frac{Card\bar{B}}{Card\Omega }=\frac{7}{155}

 

P(B)=1-P(\bar{B})

 

donc P(B)=\frac{148}{155}=0,95

 

C : "Il y a pas d'as parmi les 3 cartes"

 

Card C=C_{8}^{3}=3276

 

P(C)=\frac{CardC}{Card\Omega }=0,66

 

2/ On tire successivement avec remise 3 cartes du jeu

 

Soit \Omega l'ensemble des éventualités.

 

On a X(\Omega )=\{0,1,2,3\}

 

La loi de la probabilité de X

 

On a Card\Omega =32*32*32

 

P(X=0)=\frac{Card(X=0)}{Card\Omega }=\frac{24* 24* 24}{32* 32*32}=\frac{27}{64}\tilde{=}0.42

 

P(X=1)=\frac{Card(X=1)}{Card\Omega }=\frac{3*8*24* 24}{32x 32x 32}=\frac{27}{64}\tilde{=}0.42

 

P(X=2)=\frac{Card(X=2)}{Card\Omega }=\frac{3 *8*8*24}{32*32*32}=\frac{9}{64}\tilde{=}0.14

 

P(X=3)=\frac{Card(X=3)}{Card\Omega }=\frac{8* 8* 8}{32*32* 32}=\frac{1}{64}\tilde{=}0.01

 

 

Espérance mathématique de X :

 

E(X) =\sum_{i=1}^{3} x_{i}p_{i}=p(x=1)+2p(x=2)+3p(x=3)

 

=\frac{27}{64}+2*\frac{9}{64}+3*\frac{1}{64}= \frac{3}{4}

 

 

E(X)=0.75

 

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