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Economie

Résumés de cours

1. Croissance Développement Sous développement

8. Stratégie de développement

Probabilités

Corrigé 2009 : Variable aléatoire

Détails: Catégorie : Probabilités

1. - Pour que M appartiennent à l'axe des abscisses, il faut et il suffit que la partie imaginaire de z soit nulle c'est à dire lny=0 ou y=1.Donc $p(A)=p(y=o)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$

- Pour que M appartiennent à l'axe des ordonnées , il faut et il suffit que la partie réelle de z soit nulle c'est à dire lnx=0 ou x=1.Donc $p(B)=p(x=o)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$

- L'évènement contraire de C est "M appartient à au moins un des axes" c'est à dire $A\cup B$ ?

- L’´événement A n B est ”M appartient `a chacun des axes” c’est à dire z = 0 ou ln x = et ln y = 0 finalement x = y = 1.

Puisque le tirage est avec remise, les événements A et B sont indépendants, donc : $p(A \cap B) = p(A)p(B) = \frac{1}{9}$ .

Par conséquent :

$p(\bar{C}) = p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A\cap B) =\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{9}=\frac{5}{9}.$

$p(C)=1-p(\bar{C}) = 1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$

- Pour que $(\vec{OM},\vec{i}$ soit égal à $-\frac{\pi}{4}$ l'angle il faut et il suffit que les coordonnées de
M soient ´egales et strictement positives c’est `a dire ln x = ln y > 0 ou x = y = e. Par conséquent, D est l’évènement ”x = y = e”.

$p(x = e) = p(y = e) = \frac{2}{12}=\frac{1}{6}$ et $p(D) = \frac{1}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$ et

- Pour que M appartienne au cercle trigonométrique, il faut et il suffit que OM = 1 c’est-à-dire $(ln x)^{2}+ (ln y)^{2}=1$ . Puisque x et y ne prennent que les valeurs 1, e et $\frac{1}{e}$ , ln x et ln y ne prennent que les valeurs 0, 1 et -1 ;

Les seuls couples possibles pour réaliser $(ln x)^{2}+ (ln y)^{2}=1$ sont donc

$(ln x, ln y) = (1, 0), (-1, 0), (0, 1)$ , ou $(0,-1)$

c'est -à -dire $(x,y)=(e,1),(\frac{1}{e},1),(1,e),$ ou $(1,\frac{1}{e})$ .

or $p\left((x,y)=(e,1)\right)>=p\left((x,y)=(1,e)\right)=\frac{2}{12}\times\frac{4}{1.2}=\frac{1}{18}$

$p\left((x,y)=(\frac{1}{e},1)\right)=p\left((x,y)=(1,\frac{1}{e})\right)=\frac{6}{12}\times\frac{4}{1.2}=\frac{1}{6}$

Donc $p(E)=\frac{1}{18}+\frac{1}{18}=\frac{1}{6}+=\frac{1}{6}=\frac{4}{9}$

2.a. Puisque x et y ne prennent que les valeurs 1,e et $\frac{1}{e}$ lnx et lny ne prennent quelles valeurs o,1 et -1 ; les couples de coordonnées possibles sont donc :

$(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(1,-1),(-1,0),,(-1,1),(-1,-1),$

correspondant aux valeurs suivantes du couples (x,y)

$(1,1),(1,e),(1,\frac{1}{e}),(e,1),(e,e),(e,\frac{1}{e}),(\frac{1}{e},1),(\frac{1}{e},e),(\frac{1}{e},\frac{1}{e})$

Les distances OM possibles sont donc : $0,1,\sqrt{2}$

La variable aléatoire X prend les valeurs $0,1,\sqrt{2}$

$p(X=0)=p\left((x,y)=(1,1)\right)=\frac{4}{12}\frac{4}{12}=\frac{1}{9}$

$p(X=1)=p\left((x,y)=(1,e)\right)+p\left((x,y)=(e,1)\right)$

$+p\left((x,y)=(1,\frac{1}{e}))\right)+ p\left((x,y)=(\frac{1}{e},1))\right)$

$\frac{2}{12}\times\frac{4}{12}+\frac{2}{12}\times\frac{4}{12}+\frac{4}{12}\times\frac{6}{12}+\frac{4}{12}\times\frac{6}{12}=\frac{4}{9}$

$p(X=\sqrt{2})=p\left((x,y)=(e,e)\right)+\left((x,y)=(e,\frac{1}{e})\right)$

$+p\left((x,y)=(\frac{1}{e},e)\right)+ p\left((x,y)=(\frac{1}{e},\frac{1}{e})\right)$

$=\frac{2}{12}\times\frac{2}{12}+\frac{2}{12}\times\frac{6}{12}+\frac{2}{12}\times\frac{6}{12}+\frac{6}{12}\times\frac{6}{12}=\frac{4}{9}$

En résumé :

$p(X=0)=\frac{1}{9},p(X=1)=\frac{4}{9},p(X=\sqrt{2})=\frac{4}{9}$

b. La fonction de répartition de X est définie par $F(x)=p(x)<x$

Si $x\leq 0,F(x)=p(X<x)=0$

Si $0<x\leq 1,F(x)=p(X<x)=p(X=0)=\frac{1}{9}$

Si $1<x\leq \sqrt{2},F(x)=p(X<x)=p(X=0)+p(X=1)=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$

Si $\sqrt{2}<x\leq ,F(x)=p(X<x)=p(x=0)+p(X=1)+p(X=\sqrt{2})=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}=1$

Corrigé 2015 :

Détails: Catégorie : Probabilités

1. l'évènement contraire de "A sachant B" est $\overbar{A}$ sachant B. (0,5 pts)

2. Soietn E et F deux évènements indépendants d'un meme univers, on a $p(E\cup F)=p(E)\times p(\overbar{F})+p(F).$ (0,5 pts)

3. Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiable de paramètres
n et p où n = 4 et $p\in]0,1[$ . Si p(X = 1) = 8p(X = 0) alors $p=\frac{2}{3}$ . (0,75 pts)

4. Interprétations géométriques :

a) AM = 1 (0,25 pts)

a) AM = BM (0,5 pts)

c) $OM^{\prime}$ = AB (0,5 pts)

d) $(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA})=(\overrightarrow{M^{\prime}B},\overrightarrow{M^{\prime}A})[2\pi]$ (0,5 pts)

Corrigé 2014

Détails: Catégorie : Probabilités

Une boîte contient 8 cubes indiscernables au toucher : $R_{1},R_{2},R_{2},R_{2}, V_{1}; V_{1}, V_{2}, J_{2}$
R représente la couleur rouge, V la couleur verte, J la couleur jaune, 1 et 2les numéros des couleurs.

A) Soit $(\Omega, P(\Omega), p)$ un espace probabilisé. Soient A et B deux événements de cet espace probabilisé.

A et B sont indépendants si et seulement si $p(A \cap B) = p(A)\times p(B)$

B) On choisit successivement et sans remise 2 cubes de la boîte.

1. Soient les événements A : "Obtenir des cubes de couleurs différentes" et

B : "Obtenir au plus un cube portant le numéro 2"

a) $p(A) =\frac{A^{1}_{4}\times A^{1}_{4}+A^{1}_{3}\times A^{1}_{5}+A^{1}_{1}\times A^{1}_{7}}{A^{2}_{8}}= \frac{19}{28}$

b) $p(\bar{B}) =\frac{A^{2}_{5}}{A^{2}_{8}}=\frac{5}{14}$ d’où $p(B) =\frac{9}{14}$

c) Calculons $p(A\cap B)$ et comparons-le avec $p(A) \times p(B)$

$A\cap B$ , l’événement : "Obtenir des cubes de couleurs différentes avec au plus un portant le numéro 2". Les différentes possibilités sont :

tex}(R_{1}, V_{1}), (R_{1}, V_{1}), (V_{1},R_{1}), (V_{1},R_{1}),{/tex}

$(R_{2}, V_{1}),(V_{1}, R_{2}), (R_{2},V_{1}), (V_{1},R_{2}),$

$(R_{2}, V_{1}), (V_{1}, R_{2}), (R_{2},V_{1}), (V_{1},R_{2}),$

$(R_{2}, V_{1}), (V_{1}, R_{2}), (R_{2},V_{1}), (V_{1},R_{2})$

$(R_{1}, J_{2}), (J_{2}, R_{1}),$

$(V_{1}, J_{2}), (J_{2}, V_{1}), (V_{1},J_{2}), (J_{2},V_{1}),$

$(R_{1}, V_{2}), (V_{2},R_{1}),$

Donc $p(A \cap B) =\frac{3}{7}$

Ou encore $p(A \cap B) =\frac{C^{1}_{2}\times A^{2}_{2}+C^{1}_{3}\times C^{1}_{2}+A^{2}_{2}+A^{2}_{2}+C^{1}_{2}\times A^{2}_{2}+A^{2}_{2}}{A^{2}_{8}} =\frac{3}{7}$

Or $p(A)\times p(B) = \frac{9}{14}\times \frac{19}{28}$ qui est différent de $\frac{3}{7}$ .

d’où A et B ne sont pas indépendants.

2. Les valeurs prises par X :

$X = \{0, 1, 2\}$

a) La loi de probabilité de X :

b) Espérance mathématique E(X) de X :

$E(X) =\sum^{m}_{j=1} x_{j}P(X = xj)$ ,

$E(X) =\frac{4}{7} + 2 \times \frac{3}{14} = 1$

c) Variance V (X) de X :

$V(X) =\sum^{m}_{j=1} x^{2}j(pX = x_{j})-(E(X))^{2}$ ,

$v(X) =\frac{4}{7} + 4 \times \frac{3}{14} - 1=\frac{3}{7}$

C) Tirage simultané de 3 cubes de la boîte :

a) $p(C) =\frac{C^{3}_{3}+C^{2}_{3}\times C^{1}_{5}}{C^{5}_{8}} + 2 \times \frac{2}{7}$

b) $p_{n}=p(D_{n})=1-\left(\frac{5}{7}\right)^{n}$

c) $(p_{n})_{n}$ est strictement croissante et $\lim_{+\infty}p_{n}=1$

Corrigé 2016 :

Détails: Catégorie : Probabilités

1. $p(A)=\frac{C_{4^2}}{C_{5^2}}$ $\boxed{p(A)=\frac{3}{5^\cdot}}$

$p(B)=\frac{C_1^4\times C_1^1}{C_{5^2}}$ $\boxed{p(A)=\frac{2}{5^\cdot}}$

$p(C)=\frac{4}{5}\times\frac{4}{5}+\frac{1}{5}\times\frac{4}{5^.}$ $\boxed{p(C)=\frac{17}{25^\cdot}}$

$p(D)=\frac{4}{5}\times\frac{3}{4^\cdot}$ $\boxed{p(D)=\frac{3}{5^\cdot}}$

$p(E)=\frac{4}{5}\times\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\times 1$ . $\boxed{p(E)=\frac{2}{5^\cdot}}$

$p(F)=\frac{2}{5}\times\frac{4}{5}\times\frac{1}{4}+\frac{2}{5}\times\frac{1}{5}\times 1$ . $\boxed{p(F)=\frac{4}{25^\cdot}}$

2.a $X(\Omega) = {(R,R,)(R,J),(J,R),(J,J)}.$

Les différentes valeurs prises par X sont 0 ; 1000 et 2000.

b. Fonction de répartition

- si x < 0, F(x) = 0.

- si 0 $\leq x<1000,F(x)=\frac{3}{125^.}$ ,

- si 1000 $\leq x<2000,$ on a $F(x)=\frac{3}{125^.}+\frac{44}{125^.}$

D’où si 1000 $\leq$ x < 2000, $\boxed{F(x)=\frac{47}{125^.}}$

- si x $\geq 2000 F(x)=\frac{3}{5}+\frac{44}{125}+\frac{78}{125}=1.$

3. $\boxed{p(G)=\left(\frac{78}{125}\right)^{50}}$ $\boxed{p(H)=\left(\frac{3}{125}\right)^{50}}$ $\boxed{p(I)=\left(\frac{44}{125}\right)^{50}+C_{50}^{25}\left(\frac{3}{125}\right)^{25}\left(\frac{78}{125}\right)^{25}}.$

corrigé epreuve 2012 : probabilités conditionnelles et variables aléatoires

Détails: Catégorie : Probabilités

On tire au hasard une boule

A : La boule tirée au premier tirage est rouge

B : Les boules tirées au deuxième tirage sont rouges

C : Les boules tirées au deuxième tirage sont vertes

D : La boule tirée au deuxième tirage est rouge

$p(A)=\frac{C_{4}^{1}}{C_{7}^{1}}=\frac{4}{7}$ (0,25 point)

$p(B/A)=\frac{C_{4}^{2}}{C_{7}^{2}}=\frac{\frac{4*2}{2}}{\frac{7*6}{2}}=\frac{2}{7}$ (0,25 point)

$p(C/A)=\frac{C_{3}^{2}}{C_{7}^{2}}=\frac{3*2}{7*6}=\frac{1}{7}$ (0,25 point)

$p(D/A)=\frac{C_{4}^{1}}{C_{6}^{1}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ (0,5 point)

a) Ne pas avoir de boule rouge au deuxième tirage signifie avoir exactement une boule verte ou exactement deux boules vertes. Soit E cet événement.

$p(E)=\frac{4}{7}\times (C_{3}^{2})(C_{7}^{2})+\frac{3}{7}\times\frac{C_{2}^{1}}{C_{6}^{1}}=\frac{\frac{3}{7\times 6}}{\frac{2}{...}}=\frac{4}{7}+(\frac{2}{6}\times\frac{3}{7})=\frac{4}{49}+\frac{1}{7}=\frac{11}{49}$                  (0,5 point)

b) Soit F l’événement avoir deux boules rouges au deuxième tirage

$p(F)=\frac{4}{7}=\frac{C_{4}^{2}}{C_{7}^{2}}=\frac{4}{7}\times\frac{6}{21}=\frac{8}{49}$                                                                   (0,5 point)

Soit Y correspondant au nombre de boules rouges tirées au deuxième tirage.

▭(Y("" ) ={ 0,1,2 } )

Loi de probabilité de Y:

Y=a_i   0   1   2
p(Y=a_i)   11/49   30/49   8/49

Soit F la fonction de répartition de Y.

Si x < 0 alors $F(x)=p(y\leqx)=p(\phi)=0$