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Terminale S1S3

Sciences Physiques

Physique atomique

Corrigé 2005 :Fission de l’uranium et désintégration du césium

Détails: Catégorie : Physique atomique

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5.1:

    $_{235}^{92}U +_{1}^{0}n\rightarrow _{x}^{54}Xe + _{94}^{y}Sr + 2_{1}^{0}n$

conservation du nombre de nucléons : $235 + 1 = x + 94 + 2 \times 1 \rightarrow x = 236 - 94 - 2 = 140$

conservation du nombre de charge : $92 = 54 + y \rightarrow y = 92 - 54 = 38$

5.2 :

L'énergie libérée (en joules) lors de la fission d'un noyau d'uranium $_{235}^{92}U$ .

L'énergie libérée est donnée par l'expression $E=\Delta m c^{2}$ .

$\Delta m$ est la variation de la masse durant la réaction.

c est la vitesse de la lumière.

$E=\{[m(U)+m(n)] - [m(Xe)+m(Sr)+2m(n)]\}c^{2}= \{m(U) - [m(Xe)+m(Sr)+m(n)]\}c^{2}$

Application numérique :

$E=\{235,120 - [138,955+94,945+1,008]\times {1,6605.10}^{-27}\}\times {9}.10^{16}=3,168234.10^{-11}J$

L'énergie libérée (en MeV) lors de la fission d'un noyau d'uranium $_{235}^{92}U$ .
On sait que $1 MeV = 1,6.10^{-13} J$ donc

$E=\frac{{3,168234.10}^{-11}}{{1,6.10}^{-13}}=198,015 MeV$

5.3:

Valeur de l'énergie libérée par noyau transformée en énergie électrique : $E_{1}=\frac{30\times E}{100}$

Nombre de réactions nucléaires pour faire fonctionner chaque jour le réacteur sachant que l'énergie nécessaire est $E_{2} = 1,5.10^{8} MJ$ .

$n=\frac{E_{2}}{E_{1}}=\frac{100\times E_{2}}{30\times E}$

D'après l'équation bilan de la réaction, ce nombre de réactions est égal au nombre de noyaux d'uranium consommés donc la masse d'uranium consommée par jour est donnée par :

$m=n\times m(U)=\frac{100\times E_{2}}{30\times E}\times m(U)=\frac{100\times 1,5.10^{14}}{30\times 3,168234.10^{-11}}\times 235,120\times 1,6605.10^{-27}=6,1614 kg$

5.4:

5.4.1:

Équation de la désintégration d'un noyau de césium 137 :

$_{137}^{55}Cs\rightarrow _{0}^{-1}e+_{137}^{56}Ba$

5.4.2:

$t_{\frac{1}{2}}=30 ans =30\times {365}\times {24}\times {3600}= 946080000 s$

La constante radioactive $\lambda$ est donnée par l'expression : $\lambda =\frac{\ln 2}{t_{1/2}}$

Application numérique :

$\lambda =\frac{\ln 2}{30\times 365\times 24\times 3600}=7,32.10^{-10}s^{-1}=0,0231 an^{-1}$

Signification physique de $\lambda$

5.4.3:

L'expression littérale de la masse m de césium 137 restant à l'instant de date t en fonction de m_{0} et t_{1/2} est : $m=m_{0}e^{-{\frac{ln2}{t_{1/2}}}t}$

5.4.4:

si $t = n t_{1/2}$ alors $m=m_{0}e^{-{\frac{ln2}{t_{1/2}}}n\times t_{1/2}}=m_{0}e^{-n ln2}$

Or $e^{- nln2}=e^{ln2^{-n}}=e^{\ln \frac{1}{2^{n}}}=\frac{1}{2^{n}}$

d'où $m=\frac{m_{0}}{2^{n}}$

Détermination de la durée approximative au bout de laquelle la masse restante de césium 137 est égale à 1% de sa masse initiale.

la masse restante de césium 137 est égale à 1% de sa masse initiale donc $m=\frac{m_{0}}{100}$ , aussi $m=\frac{m_{0}}{2^{n}}$

soit :

$\frac{m_{0}}{100}=\frac{m_{0}}{2^{n}}\rightarrow 2^{n}=100\rightarrow \ln 2^{n}=\ln 100\rightarrow n\ln 2=\ln 100\rightarrow n=\frac{\ln 100}{\ln 2}$

Durée approximative au bout de laquelle la masse restante de césium 137 est égale à 1% de sa masse initiale :

$t = n t_{1/2}$ soit $t=\frac{\ln 100}{\ln 2}t_{1/2}=\frac{\ln 100}{\ln 2}\times 30=199,32 ans$

Corrigé 2006 :Comparaison des énergies produites par des réactions de fusion et de fission

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Corrigé 2009 :Méthodes de datation d’objets adaptées à l’âge

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Equation de désintégration : $^{40}_{19}K \longrightarrow ^{40}_{18}Ar + ^{0}_{1}e$

Lois de conservation : conservation du nombre de nucléons et conservation du nombre de charge.

La particule émise en même temps que le noyau fils est le positon.

5.2 :

5.2.1 : à la date t on a $N(^{40}K) = N_{0}e^{-\lambda t}$

5.2.2 :

A la date t : $N(^{40}Ar) = N_{0} – N(^{40}K) = N_{0} - N_{0} e^{-\lambda t} = N_{0} (1 - e^{-\lambda t{tex}} )$

Donc $\frac{N(^{40}Ar)}{ N(^{40}K)} = \frac{N_{0}(1 - e^{-\lambda t})}{N_{0}e^{-\lambda t}} = - 1 + e^{\lambda t}$

5.2.3 :

<img 1141>

$\lambda t= ln(1 + \displaystyle\frac{v\times M(^{40}k)}{V_{0}\times m})\longrightarrow t=T \displaystyle\frac{ln(1+\displaystyle\frac{v\times M(^{40}k)}{V_{0}\times m})}{ln2}$

A.N :

$t=1,5.109 \times \displaystyle\frac{ln (1 + \displaystyle\frac{82.10^{-7}\times 40}{22,4\times 1,66.10^{-6}})} {ln 2} = 4,9.10^{9} ans$

5.3.1 :

$e^{\lambda t} - 1 = \frac{N(^{40}Ar)}{ N(^{40}K)} = \frac{1}{4} \longrightarrow t = T \frac {ln \frac{5}{4}}{ln 2} = 4,8.10^{8} ans$

5.3.2 :

$\frac{N(^{14}C)}{ N_{0}(^{14}C)} \approx e ^{-\lambda t } \approx e^{-\displaystyle \frac{ln 2}{5600}×4,8.10^{8} } \approx = 0$

La proportion de $^{14}C$ résiduelle est très faible, on ne peut utiliser cette méthode.

Corrigé 2003 :Datation d’un charbon et détermination de la période du vanadium

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5.1.1 :

Equation bilan de la désintégration du nucléide $_{6}^{14}$ C

$_{6}^{14}C \longrightarrow _{a}^{b}X + _{-1}^{0}e^{-}$

Conservation du nombre de nucléons : $14 = b + 0 \Longrightarrow b = 14$

Conservation du nombre de charges : $6 = a - 1 \Longrightarrow a = 7$

Le numéro de l’élément X est 7 donc cet élément est l’azote,son symbole est N.

L’équation bilan de la désintégration du nucléide $_{6}^{14}C$ est $_{6}^{14}C \longrightarrow _{7}^{14}N + \beta^{-}$

5.1.2 :

Soit N le nombre de noyaux de $_{6}^{14}C$ non désintégré à la date t, on sait que :

$N = N_{0}e^{-\lambda t}$ $N_{0}$ est le nombre $_{6}^{14}$ C à la date $t_{0}$

Aussi l’activité est définie par : $A = - \frac{dN}{dt} = \lambda N_{0}e^{-\lambda t} = A_{0}e^{-\lambda t}$

avec $A_{0}$ l’activité de $_{6}^{14}$ C à la date t = 0.

$e^{-\lambda t} = \frac{A}{A_{0}} \rightarrow -\lambda t = Ln \frac{A}{A_{0}} \rightarrow t = - \frac{1}{\lambda} Ln \frac{A}{A_{0}}$ avec $\lambda = \frac{Ln2}{T}$

Donc $t = - \frac{T}{Ln2} Ln \frac{A}{A_{0}} = - \frac{5730}{Ln2} Ln \frac{0,03}{0,2} = 15 683 ans$

5.2.1 :

L’équation bilan de la désintégration du nucléide $_{23}^{52}V$ est :

$_{23}^{52}V \longrightarrow _{24}^{52}Cr + \beta^{-}$

5.2.2.1 :

L’activité d’une substance radioactive est le nombre de désintégrations de cette substance par unité de temps soit $A = - \frac{dN}{dt}$

5.2.2.2 :

On avait (voir 5.1.2)

$\frac {N}{N_{0}}= e^{-\lambda t}$ et $\frac {A}{A_{0}}= e^{-\lambda t}$ donc $\frac {A}{A_{0}}= \frac {N}{N_{0}}$ avec $N_{0}$ = 1586

t(min)	0	2	4	6	8	10	12
N	1586	1075	741	471	355	235	155
$\frac {A}{A_{0}}$	1	0,678	0,467	0,297	0,224	0,148	0,098

5.2.2.3 :

On sait que à t = T on a $N = \frac {N_{0}}{2}$ donc $\frac {A}{A_{0}}= \frac {\frac{N_{0}}{2}}{N_{0}} = \frac{1}{2} = 0,5$

En utilisant le graphe, on voit que si $\frac {A}{A_{0}}=0,5$ alors $t = T \approx 3,33 ans$ .