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Corrigé 2014 : Détermination de l'inductance L et de la résistance r d'une bobine

Détails: Catégorie : Oscillations électriques

5.1. Schéma + branchements de l’oscilloscope :
5.2. La base des temps est restée la même sur les figures 5a et 5b. Par contre la sensibilité verticale a changé ; elle a augmenté.

5.3.
5.3.1. : 1 correspond à u(t) et 2 à $u_R(t)$ parce que la tension maximale aux bornes du GBF est supérieure à celle aux bornes du résistor (dans l’état actuel de fonctionnement du circuit).

5.3.2. Loi d’Ohm $\rightarrow u_{R} = Ri\rightarrow i =\frac{ u_{R}}{R}\rightarrow i$ et $u_R$ sont proportionnelles $\rightarrow$ en visualisant $u_R$ , on visualise en même temps i.

5.4.
5.4.1. La fréquence des oscillations :
La période T correspond à 10 divisions ; d’où : $N =\frac{ 1}{T} =\frac{ 1}{10.10^{-3}} = 100 Hz$

5.4.2. Valeur maximale de la tension u(t) : $U_{max} = S_{v}.Y_{A} = 0,2 \times 4 = 0,8 V$

Valeur maximale de l’intensité i(t) : $U_{Rmax} = S_{v}.Y_{B} = 0,2 \times 2,5= 0,5 V\rightarrow I_{max} =\frac{U_{max}}{R}=\frac{0,5}{50}=10^{-2}A$

Valeur de l’impédance : $Z =\frac{ U_{max}}{I_{max}} = 80\Omega$

5.4.3. Le déphasage entre u et i

On a : $\frac{|\varphi|}{2\pi}=\frac{\theta}{T}\rightarrow |\varphi|=\frac{2\pi\theta}{T}=\frac{2\pi\times 1}{10}=\frac{\pi}{5}$

La tension u est en avance sur uR puisqu’elle atteint en premier son maximum $\rightarrow \varphi=+\frac{\pi}{5}$ Valeur de r

On a : $cos\varphi=\frac{R+r}{Z}\rightarrow r= Z cos\varphi - R$

A.N : $r = 80 cos\frac{\pi}{5}-50=14,7\Omega$

Valeur de L
$sin\varphi =\frac{L\omega-\frac{1}{C\omega}}{Z}\rightarrow Zsin\varphi +\frac{1}{C\omega}\rightarrow L=\frac{Zsin\varphi}{\omega}+\frac{1}{C\omega^{2}}$

A.N : L = 0,4 H

Corrigé 2013 : Etude d'oscillations libres

Détails: Catégorie : Oscillations électriques

5.1. L’interrupteur en position 1
5.1.1. Le condensateur se charge.

5.1.2. Equation différentielle : $u_{G}=u_{R}+u_{C}\Rightarrow E=Ri+u_{C}$

$u_{C}=u$ et $i=\frac{dq}{dt}$ or $q=Cu\Rightarrow i=C.\frac{du}{dt}\Rightarrow E=RC.\frac{du}{dt}+u\Rightarrow$

$\frac{du}{dt}+\frac{1}{Rc}u\frac{E}{RC}$ on tire $a=\frac{1}{Rc}$ et $b=\frac{E}{Rc}$

5.1.3. La constante de temps : $\tau =RC$ c’est la durée au bout de laquelle le condensateur atteint 63% de sa
valeur maximale lors de la charge ou 37% de sa valeur maximale lors de sa décharge.

5.1.4. pour $t=\tau$ on a $u=0,63\times 4,5=2,83V\Rightarrow$ à partir du graphe on trouve $\tau =15ms$
$\tau =RC\Rightarrow C=\frac{\tau }{R}$

Remarque importante :
La constante de temps $\tau$ peut être également obtenue à partir de la tangente à l'origine de la courbe $u_{AB}=f(t)$
On prendrait l'abscisse du point de rencontre de cette tangente avec l'asymptote horizontale.
Avec cette méthode on obtient une valeur de C inférieure (de l'ordre $5 .10^{- 6}F$ ).
On acceptera également cette valeur. L'écart entre les deux valeurs est dû à la reproduction approximative de l'oscillogramme $u_{AB}=f(t)$ .

5.2. L’interrupteur en position 2 :

5.2.1. Equation différentielle vérifiée par q :

5.2.2. Déduction de l’équation différentielle vérifiée par q : $u_{c}+u_{1}\Rightarrow\frac{q}{C}+L\frac{di}{dt}=0$ or $i=\frac{dq}{dt}+L\frac{di}{dt}\Rightarrow=\frac{d^{2}q}{dt^{2}}\Rightarrow$

$\frac{q}{C}+\frac{d^{2}q}{dt^{2}}=0\Rightarrow\ddot{q}+\frac{1}{LC}q=0$

5.2.3. Détermination de F et D : la solution de l’équation différentielle est u = u solution générale de l'équation : $u=Umcos(\omega^{2}=1/LC$

Tenant compte des conditions initiales on trouve

D = E et $F=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

5.2.4. Energie maximale emmagasinée par la bobine :

$E_{C(max)}=\frac{1}{2}CU^{2}_{m}=\frac{1}{2}.15.10^{-6}J$

$E_{C(max)}=15.10^{-5}J$

5.3. On fait varier R’ et L :

5.3.1. Calcul des périodes : $T_{0}=\frac{2\pi}{\omega_{0}}=2\pi\sqrt{LC}$

$E_{1}:T_{0}=2\pi\sqrt{1.5.10^{-6}}=14.10^{-3}s$

$E_{2}:T_{0}=2\pi\sqrt{0,2.5.10^{-6}}=6,28.10^{-3}s$

$E_{1}:T_{0}=2\pi\sqrt{1.5.10^{-6}}=14.10^{-3}s$

5.3.2. Déterminations des périodes à partir des graphes :

figure3 $T_{0}\approx 14.10^{-3}s$ figure4 $T_{0}\approx 14.10^{-3}s$ figure5 $T_{0}\approx 6,25.10^{-3}s$

5.3.3. Correspondance : $E_{1}\leftrightarrow$ figure4 $E_{2}\leftrightarrow$ figure5 $E_{3}\leftrightarrow$ figure3

5.3.4. Calcul de l’énergie dissipée $E_{joule}=\left|E_{c(initiale)}-E_{c(1oscillation)\right|\frac{1}{2}C\left[E^{2}-U^{2}\right]$

$E_{1}$ $E_{joule}=\frac{1}{2}5.10^{-6}\left[4,5^{2}-2,5^{2}\right]=3,5.10^{-5}J$

$E_{2}$ $E_{joule}=\frac{1}{2}5.10^{-6}\left[4,5^{2}-1^{2}\right]=4,8.10^{-5}J$

$E_{3}$ $E_{joule}=\frac{1}{2}5.10^{-6}\left[4,5^{2}-3,5^{2}\right]=2.10^{-5}J$

Corrigé 2007 : Equivalence entre un oscillateur électrique et un oscillateur mécanique

Détails: Catégorie : Oscillations électriques

Première partie

4.1.

4.1.1. Equation différentielle traduisant les oscillations électriques

D’après la loi des mailles : $U_{C} + U_{L} = 0$ avec $u_{C}=\frac{q}{C}$ tension aux bornes du condensateur et
$u_{L}=L \frac{di}{dt}=L\frac{d}{dt}\left(\frac{dq}{dt}\right)=L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}$ tension aux bornes de la bobine

$\frac{q}{C}+ L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}= 0\Longrightarrow\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+ \frac{q}{LC}= 0$

Equation différentielle $\ddot{q}+\frac{1}{LC} q=0$

4.1.2. Période des oscillations :
L’équation différentielle est celle d’un oscillateur de pulsation propre ω telle que $\Omega^{2}=\frac{1}{LC}$ donc $\omega=\sqrt{\frac {1}{LC}}$ et de période : $T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{LC}$
Application numérique : $T=2\pi\sqrt{0,10\times 1,0.10^{-5}}=2\pi.10^{-3}s=6,28.10^{-3}$

4.2.

4.2.1. Equation différentielle du mouvement du solide
On déplace le solide A de façon à provoquer l’allongement du ressort et on l’abandonne sans vitesse initiale.

Système : Solide
Référentiel : terrestre supposé galiléen
Bilan des forces : $\vec{p}$ poids du solide (en rouge) ; $\vec{R}$ réaction du plan (en vert) et $\vec{T}$ tension du ressort (en bleu)

Théorème du centre d’inertie : $\vec{P}+\vec{R}+\vec{T}=m\vec{a}$

Composantes des vecteurs

$\vec{P}\left(P_{X}=0 \\P_{y}=P\right)$ ; $\vec{R}\left(R_{X}=0 \\R_{y}=-R \right)$ ; $\vec{T}\left(T_{X}=-T \\T_{y}=0 \right)$ ; $\vec{a}\left(a_{X}=\ddot{x} \\a_{y}=&0 \right)$

En projetant suivant XX’, on obtient :

$-T=m\ddot{X}$ , $-KX= m\ddot{X}\Longrightarrow m\ddot{X}+KX=0$

Equation différentielle :

$\ddot{X}+\frac{k}{m}X=0$

4.2.2. Période des oscillations
L’équation différentielle est celle d’un oscillateur de pulsation propre telle que $\Omega^{2}=\frac{k}{m}$ donc $\Omega=\squrt{\frac {k}{m}}$ et de période : $T=\frac{2\pi}{Omega}=2\pi\squrt{\frac{m}{k}}$

Application numérique : $T=\frac{2\pi}{Omega}=2\pi\squrt{\frac{0,5}{25}}=0,89 s$

4.3. Tableau complet

Deuxième partie

4.4. Montrons que l’impédance de la bobine et celle du résistor sont égales
$U_{1}=Z_{1}$ et $U_{2}=Z_{2}I$ étant donné que $U_{1}=U_{2}$ alors $Z_{1}I=Z_{2}I$ donc $Z_{1}=Z_{2}$

L’impédance du résistor est telle que $Z_{2}=R_{2}=12,5\Oméga$

4.5. Diagramme de Fresnel relatif au circuit
Soient $u, u_{1}$ et $U_{2}$ les tensions instantanées respectives aux bornes du générateur, de la bobine et du résistor

$u_{2}=R_{1}i=R_{2}I\sqrt{2} sin(\omega t)$ et

$u_{1}=R_{1}i+L\frac{di}{dt}=R_{1}I\squrt{2} sin(\omega t)+L\omega I\squrt{2} cos(\omega t)=R_{1}I\squrt{2} sin(\omega t)+L\omega I\squrt{2} sin(\omega t+\frac{pi}{2}$

$u=u_{2}+u_{1}=R_{2}I\squrt{2} sin(\omega t)+=R_{1}I\sqrt{2} sin(\omega t)+L\omega I\sqrt{2} sin(\omega t+\frac{pi}{2}$

$u=(R_{1}+R_{2})I\sqrt{2} sin(\omega t)+L\omega I\sqrt{2} sin(\omega t+\frac{pi}{2}=u\sqrt{2} sin(\omega{t}+\varphi)$ est la somme de deux fonctions sinusoîdales

4.6 Valeurs numériques
L’impédance $Z_{1}$ de la bobine $Z_{1}^{2}=R_{1}^{2}+(L\omega)^{2}$ (1)
D’après le diagramme de Fresnel : $(U\sqrt{2}^{2}=(L\omega)I\sqrt{2}^{2}+[(R_{1}+R_{2})I\sqrt{2}]^{2}$

$(\frac{U}{I})^{2}=(L\omega)^{2}+(R_{1}+R_{2})^{2}$ (2)

$\left\{ \begin{array}{c}R_{1}^{2}+(L\omega)^{2}=Z_{1}^{2}=(12,5)^{2}=156,25 \\ (L\omega)^{2}+(R_{1}+R_{2})^{2}=(\frac{u}{I})^{2}=(\frac{64}{3,2})^{2}=400\end{array} \right.$

$\left\{\begin{array}{c}R_{1}^{2}+(L\omega)^{2}=156,25 (1)\\ (R_{1}+12,5)^{2}+(L\omega)^{2}=400 (2)\end{array}\right.$

(2)-(1) donne $(R_{1}+12,5)^{2})-R_{1}^{2}=400 - 156,25=243,75$

$R_{1}^{2}+25_{1}+156,25-R_{1}^{2}=400-156,25=243,75\Longrightarrow 25R_{1}+156,25=243,75\Longrightarrow R_{1}=3,5\Omega$

D'après (1) : $L\omega=\sqrt{Z_{1}^{2}-R_{1}^{2}}=\sqrt{(12,5)^{2}-(3,5)^{2}}\Longrightarrow L\omega=12\Omega$

D'après le diagramme de Fresnel $tan\varphi=\frac{L\omega}{R_{1}+R_{2}}=\frac{12}{3,5+12,5}\Longrightarrow \varphi=36,87°=0,64 rad$

Valeur de la fréquence N

$\omega=2\pi N\Longrightarrow N=\frac{2\pi}{\omega}$ avec $L\omega=12$ on a $N=\frac{2\pi L}{12}=\frac{2\pi\times 36.10^{-3}}{12}=6\pi. 10^{-3}\Longrightarrow N=18,84.10^{-3}$ Hz

Corrigé 2011 : Etude de circuits RL, RC, et RLC

Détails: Catégorie : Oscillations électriques

5.1.

5.1.1. On a $i = \frac{u_r}{R} \rightarrow$ les variations de i(t) sont proportionnelles à celles de $u_{R}$ $\rightarrow$ les oscillagrammes visualisent les variations de l'intensité au facteur $\frac{1}{R}$ près.

5.1.2. Oscillogramme a i est non nulle si K fermé, puis i diminue jusqu'à s'annuler. Ce graphe correspond au schéma 1 car l'équation électrique de ce circuit s'écrit :

$E = u_{AB}(t) + u_{R}(t)\rightarrow E = u_{AB}(t) + Ri(t)$

à t = 0 on a $u_{AB}(0) = 0$ d'où $i(0) = \frac{E}{R} \neq 0$

Par ailleurs i(t) = $\frac{dq}{dt} = C\frac{du_{AB}}{dt} \rightarrow$ à la fin de la charge u $_{AB}$ = E = cte et i = 0

Oscillogramme b

i est nulle puis augmente constante. On observe un retard à l'établissement du courant caractéristique d'un dipôle R, L. L'oscillogramme b correspond au schéma 2.

5.1.2.

5.1.2.1. L'énergie initialement emmagasinée dans le condensateur.

A la fin de la charge du condensateur (schéma 1) on a : $u_C = E \rightarrow W_0 = \frac{1}{2}Cu^2_C = \frac{1}{2}CE^2$

5.1.2.2. Les échanges d'énergie

Initialement toute l'énergie électrique est emmagasinée dans le condensateur. Celui ci se décharge dès que l'interrupteur est fermé ; une partie de son énergie est progressivement emmagasinée sous forme magnétique au niveau de la bobine, une autre est dissipée dans le conducteur ohmique sous forme d'effet Joule.

Quand le condensateur finit de se décharger, c'est au tour de la bobine de restituer l'énergie qu'elle a emmagasinée. Le phénomène se poursuit jusqu'à ce que l'énergie initialement emmagasinée dans le condensateur soit complètement dissipée par effet Joule.

Au bout d'un temps t suffisamment grand i(t) $\rightarrow$ 0 car toute l'énergie est dissipée sous forme d'effet Joule.

5.2.

5.2.1. Schéma du circuit :

5.2.2. Les deux voies ont même sensibilité.

Comme $Z_{circuit} > Z_R \rightarrow \frac{U_G}{I} > \frac{U_R}{I} \rightarrow U_G > U_R$ où $U_{G$ et $U_{R$ sont efficaces aux bornes de G et R $\rightarrow U_{mG} > U_{Rm}\rightarrow$ la courbe 1 correspond à la tension $u_{2}$ (t) aux bornes du générateur donc à la voie $Y_{2}$ La courbe 2 correspond à la tension $u_{1}(t)$ aux bornes du conducteur ohmique, donc à la voie $Y_{1}$ .

5.2.3. Déphasage $\phi$ de la tension $u_{2}$ (t) par rapport à la tension $u_{1}$ (t).

Le décalage horaire est $\theta$ = 0,75k si k est le temps de balayage et la période est T = 5k

alors $\frac{\theta}{T} = \frac{0,75}{5} \rightarrow \theta = \frac{0,75}{5}T$

Or $\left|\phi\right| = \omega \theta \rightarrow \left|\phi\right| = \frac{2\pi}{T} \times \frac{0,75}{5}T \rightarrow \phi = 0,3 \pi$ car $u_2$ (t) est en avance sur i(t) $\rightarrow i(t) = I\sqrt{2}cos\left(2\pi Nt - \phi \right) = I\sqrt{2}cos\left(2\pi Nt - 0,3\pi \right)$

Remarque : On pourrait exprimer I en fonction de U.

On a $I = \frac{U_R}{R}$

Des oscillogrammes, on tire $\frac{U_m(R)}{U_m(G)} = \frac{2}{2,75} \rightarrow \frac{U_R}{U} = \frac{2}{2,75} \rightarrow I = \frac{2}{2,75}\frac{U}{R} = 0,72 \frac{U}{R}$

d'où $i = 0,72 \sqrt{2} \frac{U}{R}cos(2\pi Nt - 0,3\pi)$

5.3.

5.3.1. Expression de $P_{0}$

A la résonance d'intensité $(Z_{maximale} = R ; \phi = 0 et I = \frac{U}{R}$ )

$P_0 = UIcos\phi = UI = \frac{U^2}{R}$ P est maximale car cos $\phi$ = 1

$P_0 = \frac{U^2}{R}$

5.3.2. A la résonance i et u $_G$ sont en phase : $\phi$ = 0.

On peut poser $u_2(t)=U\sqrt{2}cos\omega_0 t$ et $i(t)=I\sqrt{2}cos\omega_0 t$

$W_L = \frac{1}{2}Li^2 = \frac{1}{2}L \times 2I^2cos^2\omega_0 t = LI^2cos^2\omega_0 t$

$W_C = \frac{1}{2}Cu^{2}_{C}$

et $u_C = U_C\sqrt{2}cos(\omega_0 t - \frac{\pi}{2}) \rightarrow u_C = \frac{I}{C\omega_0}\sqrt{2}sin\omega_0 t$

soit $W_C = \frac{I^2}{C\omega_0^2}sin^2\omega_0 t$

Comme $LC\omega_0^2 = 1 \rightarrow \frac{1}{C\omega_0^2} = L \rightarrow W_C = LI^2sin^2\omega_0 t$

$W_t = W_L + W_C = LI^2cos^2\omega_0 t + LI^2sin^2\omega_0 t = LI^2$

Or $I = \frac{U}{R} \rightarrow W_t = \frac{LU^2}{R^2} = cte$

A la résonance, l'énergie emmagasinée dans le circuit reste constante ; par conséquent l'énergie reçue à chaque instant par le dipôle (R, L, C) est donc entièrement transformée en chaleur par effet Joule dans le conducteur ohmique.

Corrigé 2010 :Charge d’un condensateur et décharge sur un circuit L,R

Détails: Catégorie : Oscillations électriques

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4.1 Etablissement de l'équation diérentielle vé'riée par la tension $u_{AB}$ au cours de cette étap e de la charge du condensateur :

$u_{0}=u_{AB}+u_{R}$ avec $u_{R} =R\times i$ et $i=\frac{dq}{dt}$ aussi $q=C.u_{AB}$

Soit $u_{R}=R\frac{dC.u_{AB}}{dt}=RC\frac{du_{AB}}{dt}$

Donc l'équation différentielle vérifiée par la tension est : $RC\frac{du_{AB}}{dt}+u_{AB}=u_{0}$

4.2 Vérification de la solution de l'équation différentielle : $u_{AB}=u_{0}\left(1-e^{\frac{t}{\tau}}\right)$

$\frac{du_{AB}}{dt}=-\frac{U_{0}}{\tau}e^{\frac{t}{\tau}}=0$

On obtient : $RC\frac{U_{0}}{\tau}e^{\frac{t}{\tau}}+u_{0}\left(1-e^{\frac{t}{\tau}}\right)=U_{0}$

$\Longrightarrow \frac{RC}{\tau}e^{\frac{t}{\tau}}+1-e^{\frac{t}{\tau}}=1$

$\Longrightarrow e^{\frac{t}{\tau}}\left( \frac{RC}{\tau}-1\right)=0$

$\Longrightarrow \frac{RC}{\tau}-1=0$ $\Longrightarrow \frac{RC}{\tau}=1$ $\Longrightarrow \tau=RC$

Application numérique : $\tau =10.10^{3}\times1.10^{-6}=10^{-2}s=100 ms$

4.3.1

Le graphe qui a l'allure d'une courbe exponentielle est en accord avec l'expression de u(AB).

Aussi, avec l'expression $u_{AB}=u_{0}\left(1-e^{\frac{t}{\tau}}\right)$

à t = 0 on a $u_{AB}=u_{0}\left(1-e^{\frac{0}{\tau}}\right)=u_{0}\left(1-1\right)=0$

et lorsque $t\rightarrow +\infty$ alors $u_{AB}\longrightarrow u_{0}=5V$

ce qui vérifie la courbe

4.3.2

$\tau$ est la date à laquelle $u_{AB}=0,63u_{0}=3,15V$

A partir du graphe, on cherche l'abscisse du point de la courbe dont l'ordonnée est égale à 3,15 V.

On trouve $\tau = 10.10^{-3}s=10^{-2}s$

Autre méthode : On peut déterminer $\tau$ en traçant la tangente à la courbe à l'origine, $\tau$ est l'abscisse du point d'intersection de cette tangente avec la droite d'équation $U_{AB}=U_{0}$

On remarque que les deux valeurs de $\tau$ sont égales. On peut déterminer $\tau$ par le calcul ou par la méthode graphique.

4.4

$i=\frac{dq}{dt}$ avec $q=C.u_{AB}$ donc $i=C\frac{du_{AB}}{dt}$

$\frac{du_{AB}}{dt}=\frac{u_{0}}{\tau}e^{\frac{t}{\tau}}$ et $\tau=R\times C$

donc $i = \frac{C.U_{0}}{RC}e^{\frac{t}{\tau}}-\frac{U_{0}}{R}e^{\frac{t}{\tau}}$

Allure de i(t)

4.5.1 Equation dférentielle traduisant les variations de la charge q(t) du condensateur.

Aux bornes du condensateur : $u_{AB}+\frac{q}{C}$

Aux bornes de la bobine et du résistor : $u_{BA}=Ri+L\frac{di}{dt}$

$u_{AB}=-u_{BA} \Longrightarrow \frac{q}{C}=Ri+L\frac{di}{dt} \Longrightarrow \frac{q}{C}+Ri+L\frac{di}{dt}=0$

Aussi $i=\frac{dq}{dt}$ donc $\frac{di}{dt}=\frac{d^{2}q}{dt^{2}}$

L'équation devient : $\frac{q}{C}+R\frac{dq}{dt}+L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}=0 \Longrightarrow {d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{R}{L}{dq}{dt}+\frac{1}{LC}q=0$

4.5.2

On avait $\ddot{q}+\frac{R}{L}\dot{q}+\frac{1}{LC}q=0 \Longrightarrow L\ddot{q}+R\dot{q}+\frac{1}{C}Q=0$

On multitiplie les deux memvres de l'égalité par $\dot{q}$ et on obtient :

$\Longrightarrow L\ddot{q}\dot{q}+R\dot{q}\dot{q}+\frac{1}{C}q\dot{q}=0$

$\Longrightarrow \frac{1}{2}L\frac{d}{dt}\dot{q}^{2}+R\dot{q}^{2}+\frac{1}{2C}\frac{dq^{2}}{dt}=0$

$\Longrightarrow \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}Li^{2}+\frac{1}{2}\frac{q^{2}}{C}\right)+Ri^{2}=0$

4.5.3

$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}Li^{2}+\frac{1}{2}\frac{q^{2}}{C}\right)=-Ri^{2}$

La variation de l'énergie emmegasinéedans le circuit est égale à l'énergie dissipée par effet joule au niveau du résistor. L'énergie du circuit dimunie au cours du temps.

4.5.4 Les régimes principaux de fonctionnement d'un circuit RLC sont : le régime pseudo-périodique, le régime critique et le régime apériodique (sous_critique)

Représentation de ces trois régimes.

4.5.5 Si R = 0 on a un régime périodique etl'expression de la période est $T=2\pi\sqrt{LC}$

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