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Corrigé 2018 :

Détails: Catégorie : Electromagnétisme

4.1.1 Relation entres les tensions instantanées

$u_G-u_c-u_R=0$

Equation différentielle relative à $u_c$ :

$u_G-u_c-u_R=0\Rightarrow E-R_{1.}i-u_c=0\Rightarrow R_{1.}i+u_c=E$

or $i=\frac{dq}{dt}=C\frac{du_c}{dt}\Rightarrow R_1C\frac{du_c}{dt}+u_c=E\Rightarrow \frac{du_c}{dt}+\frac{1}{R_1C}u_c=\frac{E}{R_1C}$

4.1.2 Vérifions que $u_c=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$ est solution :

$\frac{du_c}{dt}=\frac{E}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}\Rightarrow \frac{du_c}{dt}+\frac{1}{R_1C}u_c=\frac{E}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}+\frac{1}{R_1c}E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)=\left(\frac{E}{\tau}-\frac{E}{R_1c}\right)e^{-\frac{t}{\tau}}+\frac{E}{R_1c}=\frac{E}{R_1c}$ .

Signification de $\tau$ :

$\tau$ est la durée au bout de laquelle la tension aux bornes du condensateur atteint 63% de sa valeur en fin de charge. C’est la constante de temps du circuit.

Valeur de $\tau$ : $\tau=R_1C=1000\times 10^{-6}=10^{-3}s=1\,ms.\quad\quad \tau=1\,ms$

4.1.3 Expression de l’intensité du courant $I_0=\frac{da}{dt}t=0=C\frac{du_c}{dt}t=0=\frac{E}{R_1}\quad A.N : \; I_0\frac{4}{1000}=4m4$

4.1.4 Puissance instantanée fournie par le générateur : $P(G)=E.i(t)$

$i=\frac{dq}{dt}=\frac{du_c}{dt}\Rightarrow\;i=\frac{E}{R_1}e^{-\frac{t}{\tau}}\quad\quad(G)=E.i(t)=\frac{E^2}{R_1}e^{-\frac{t}{\tau}}$

Puissance instantanée reçue par le condensateur : $P(C)U_c.i(t)$

$u_c=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\quad et\; i=\frac{E}{R_1}e^{-\frac{t}{\tau}}\quad\quad P(C)=\frac{E^2}{R^1}\left(e^{-\frac{t}{\tau}-e^{-2\frac{t}{\tau}\right)$

4.1.5 Energie emmagasinée dans le condensateur :

$\sum(c)=\int^t_0P_c(t).dt=\int^{xt}_0\frac{E^2}{R_1}\left(e^{-\frac{t}{\tau}}-e^{-2\frac{t}{\tau}}\right).dt$

On obtient : $\sum=\frac{E^2\tau}{2R_1}(1-e^{-x})^2$ en développant

Energie fournie par le générateur : $\sum(G)=\int^t_0P_G(t).dt=\int^^{xt}_0\frac{E^2}{R_1}e^{-\frac{t}{\tau}}dt=\frac{E^2\tau}{R_1}(1-e^{-x})$

Le rapport entre les énergies : $\frac{\sum(c)}{\sum(G)}=\frac{\frac{E^2\tau}{R_1}(1-e^{-x})^2}{\frac{E^2\tau}{R_1}(1-e^{-x})}=\frac{1-e^{-x}}{2}$

4.1.6 Tableau complété :

4.1.7 A la fin de la charge, seulement 50% de l’énergie fournie par le générateur est reçue par le condensateur donc l’énergie fournie par le générateur n’est pas reçue intégralement par le condensateur : il y a dissipation de l’énergie sous forme calorifique au niveau du conducteur ohmique.

4.1.8 La quantité de chaleur dégagée par effet joule au cours de la charge du condensateur :

$\sum(G)=\sum(c)+\sum(R)\Rightarrow \sum(R)=\sum(G)-\sum(c)$ or à la fin de la charge ? $\frac{\sum(c)}{\sum(G)}=0,5\Rightarrow$

$\sum(R)=\frac{\sum(G)}{2}=\frac{E^2\tau}{2R_1}=\frac{R_1CE^2}{2R_1}=\frac{CE^2}{2}$ $\sum(R)=\frac{1}{2}\times 1.10^{-6}\times 4^2=8.10^{-6}J\quad\quad$ $\sum(R)=8.10^{-6}J$

4.2.1 Branchement de l’oscilloscope :

4.2.2 courbe 1 : $U_{AM}$ , tension aux bornes du condensateur. Initialement chargé, la tension à ses bornes est non nulle.

Courbe 2 : $U_{BM}$ , tension aux bornes du conducteur ohmique car à t= o la tension à ses bornes est nulle.

4.2.3 Les courbes sont amorties parce qu’il y a dissipation d’énergie par effet joule.

La courbe (2) montre les variations de l’intensité du courant car celle-ci est proportionnelle à la tension aux bornes du résistor $(U_{BM}=R_2i)$

4.2.4 Energie restante dans le circuit à la date t=2ms.

A t = 2 ms $U_{BM}=R_2i=0\;et\; U_{AM}=-1,5V\quad soit\; E=E_C=\frac{1}{2}CU_{AM^2}=5,6.10^{-7}$ ${E_{restante}(t=2ms)=5,6.10^{-7}$

$E_{c(0)}=\frac{1}{2}CU_0^2=8.10^{-6}J\Rightarrow \frac{E_{restante}}{E_{c(0)}}\quad A\,t=2ms$ 0,07

l’essentiel de l’énergie initialement emmagasinée dans le condensateur est dissipée par effet joule.

c 2017 :

Détails: Catégorie : Electromagnétisme

4.1.
4.1.1. $tan\varphi\,=\,\frac{L\omega-\frac{1}{c\omega}}{r}$

4.1.2. $tan\varphi\,=\,\frac{L\omega-\frac{1}{c\omega}}{r}\Rightarrow L\omega-\frac{1}{c\omega}\,=\,rtan\varphi\Rightarrow$ la capacité C est donnée par $C\,=\,\frac{1}{\omega(L\omega-rtan\varphi)}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{lllllll}Si\varphi&=&\frac{\pi}{4}rad :C_1&=&\frac{1}{30,15.10^3(2.10^{-3}\times 30,15.10^3-6 tan\frac{\pi}{4})}&=&611 nF\\\\Si\varphi&=&-\frac{\pi}{4}rad :C_2&=&\frac{1}{30,15.10^3(2.10^{-3}\times 30,15.10^3-6 tan(-\frac{\pi}{4}))}&=&500nF\end{array}\right.$

4.1.3. $U=Z.I\Rightarrow I=\frac{U}{Z}\quad or\quad Z=\sqrt{r^2+\left(L\omega-\frac{1}{c\omega}\right)^2}\Rightarrow I\,=\frac{U}{\sqrt{r^2+\left(L\omega-\frac{1}{c\omega}\right)^2}}=\frac{U}{\sqrt{r^2+(rtan\varphi)^2}}$

$I_1=\frac{0,2}{\sqrt{6^2+\left[6tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]^2}}=23,5mA$ et

$I_2=\frac{0,2}{\sqrt{6^2+\left[6.tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right]^2}}=23,5mA$ .

4.2.
4.2.1. $P=\,UIcos\varphi\,=\,U\times\frac{U}{z}\times\frac{r}{z}\,=\,\frac{U^2.r}{r^2+\left[L\omega-\frac{1}{c\omega}\right]^2}\,=\,\frac{a.r}{r^2+b}$ par identification :

$\left\{\begin{array}{lll}a&=&U^2\\\\b&=&\left[L\omega-\frac{1}{c\omega}\right]^2\end{array}\right.\quad A.N\, :\quad\left\{\begin{array}{lll}a&=&0,2^2\,=\,0,04\,en\,V^2\\\\b&=&36,4\,en\,\Omega^2\end{array}\right.$

4.2.2. Calcul de $r_{max}\, :\, P\,=\,\frac{a.r}{r^2+b}\Rightarrow \frac{dP}{dr}\,=\,\frac{a(r^2+b)-2r(ar)}{(r^2+b)^2}=\frac{a.b-a.r^2}{(r^2+b)^2}$ ;

$P_{maximale}\Rightarrow\frac{dP}{dr}\,=\,0\Rightarrow a.b-a.r^2\,=\,0\Rightarrow r\,=\,r_{max}=\sqrt{b}\,=\,6,03\,\Omega$ .

4.2.3. 1. Courbe P= f(r).

4.2.3. 2 Graphiquement $r_0\,=\,6\Omega$ on a $r_0\,=\,r_{max}$ .

4.2.4. $P\,=\,\frac{U^2r}{z^2}\Rightarrow P_{m}\,=\,\frac{U^2r_0}{z^2}\quad or\quad cos\varphi\,=\,\frac{r_0}{z}\Rightarrow Z^2\,=\,\frac{r^1_0}{cos^2\varphi}\Rightarrow P_m\,=\,\frac{U^2.cos^2\varphi}{r_0}$

$cos\varphi\,=\,\sqrt{\frac{P_m\times r_0}{U^2}}\,=\,\sqrt{\frac{3,32.10^{-3}\times 6}{0,2^2}}\,=\,0,7\Rightarrow\left\{\begin{array}{lllll}\varphi&=&\frac{\varpi}{4}rad&=&45^{\circ}\\\\\phi&=&-\frac{\pi}{4}rad&=&-45^{\circ}\end{array}\right.$

Conclusion : $|\varphi|\,=\,\frac{\pi}{4}rad.$

4.2.5. L’exception précédente correspond à la résonance d’intensité. A cet état $\varphi\,=\,0\Rightarrow P\,=\, UI\,=\,\frac{U^2}{r}$

$\Rightarrow$ étant constante, P est inversement proportionnelle à r.

Corrigé 2013 :

Détails: Catégorie : Electromagnétisme

4.1. Le sens des courants et les lignes de champ :

4.2.

4.2.1. Expression vectorielle de $\vec{F}:\vec{F}=q\vec{V_{0}}\vec{B}=-e.\vecV_{0}\vec{B}$

4.2.2.
Si $\vec{V_{0}}//\vec{B}\Rightarrow \vec{F}=0\sigma\vec{F}=\vec{0}$ mouvement rectiligne uniforme

4.2.3.
Si $\vec{V_{0}}\vec{B}\Rightarrow \vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow -e.\vec{V}\vec{B}=m\vec{a}\Rightarrow$
$\vec{a}\vec{V}\Rightarrow \vec{a}=\vec{a_{n}}$ le mouvement est circulaire.

$\vec{a}=\vec{a_{n}}\Rightarrow \vec{a_{t}}=\vec{0}\Rightarrow \frac{dV}{dt}=0\Rightarrow V= constante$ Le mouvement est uniforme.

Le mouvement de l’électron est donc circulaire uniforme.

4.3.
4.3.1. Nature et nom des forces :

Forces électromagnétiques appelées forces de Laplace.

Caractéristiques de $\vec{F1}$ :

- point d’application : milieu de PR

- direction : perpendiculaire au plan du cadre
- sens : sortant (voir figure)
- intensité : $F1=NT'Bb=40.0,54.10^{-2}.6.10^{-2}=0,048N$

Caractéristiques de $\vec{F2}$ :

- point d’application : milieu de MQ

- direction : perpendiculaire au plan du cadre
- sens : sortant (voir figure)
- intensité : $F2=NT'Bb=40.0,54.10^{-2}.6.10^{-2}=0,048N$

Sur les côtés QR et MP les forces magnétiques sont nulles.

4.3.2. La bobine quittera sa position d’équilibre sous l’effet du couple de force $( \vec{F_{1}},\vec{F_{2}} )$

et va tourner d’un angle a autour de l’axe ? (qui supporte le fil de torsion).

4.3.3. Expression de la somme des moments et déduction de la constante de torsion C du fil :

$\Sigma{M^{\vec{F}}_{\Delta}}}=\Sigma{M^{\vec{F_{1}}}_{\Delta}}}+\Sigma{M^{\vec{F_{2}}}_{\Delta}}}+\Sigma{M^{\vec{P}}_{\Delta}}}+\Sigma{M^{\vec{C}}_{\Delta}}}=0\Rightarrow Facos\alpha -C.\alpha=0$

avec $F_{1}=F_{2}=F\Rightarrow C=\frac{F.a}{\alpha}cos\alpha =\frac{NI'Bba}{\alpha}cos\alpha$ A.N $C=3,17.10^{-3}N.m.rad^{-1}.$

.
4.4. Le champ $\vec{B}$ est orthogonal au plan du cadre :

4.4.1. Si $\vec{B}$ et I’ sont choisis comme suit :

Caractéristiques de $\vec{F1}$ :

- point d’application : milieu de PR
- direction : parallèle à MP
- sens : de M vers P (voir figure)
- intensité : $F1=NT'Bb=40.0,54.10^{-2}.6.10^{-2}=0,048N$

Caractéristiques de $\vec{F2}$ :

- point d’application : milieu de MQ
- direction : parallèle à MP
- sens : de P vers M (voir figure)
- intensité : $F2=NT'Bb=40.0,54.10^{-2}.6.10^{-2}=0,048N$

Caractéristiques de $\vec{F3}$ :

- point d’application : milieu de QR
- direction : parallèle à MQ
- sens : de M vers Q (voir figure)
- intensité : $F3=NT'Ba=40.0,54.10^{-2}.4.10^{-2}=0,032N$

Caractéristiques de $\vec{F4}$ :

- point d’application : milieu de MP
- direction : parallèle à MQ
- sens : de Q vers M (voir figure)
- intensité : $F4=NT'Ba=40.0,54.10^{-2}.4.10^{-2}=0,032N$

4.4.2. La bobine ne quittera pas cette position car $\Sigma\vec{F}=0$ et $\Sigma{M^{\vec{F}}_{\Delta}}}=0$

Corrigé 2015 :

Détails: Catégorie : Electromagnétisme

4.1.1 L’expression de l’intensité i(t) : $i=\frac{dq}{dt}$ or $q=Cu_{c}\Rightarrow i=\frac{Cdu_c}{dt}$

4.1.2 Equation différentielle vérifiée par $u_C$ .

$u_{G}=u_{R}+u_{C}\Rightarrow E=RC.\frac{du_c}{dt}u_{C}\Rightarrow \frac{du_c}{dt}+\frac{u_c}{RC}=\frac{E}{RC}$

4.1.3 Expressions des constantes A, B et $\alpha$ : $u_{C}=Ae^{ot}+B$ et à

à t = 0 $u_{C}=u_{0}\Rightarrow A+B=u_{0}$ et à t $\rightarrow\infty,u_{C}=E\Longrightarrow$ B = E et $A=U_{0}-E$

$\Longrightarrow\frac{du_c}{dt}+\frac{u_c}{RC}=\frac{E}{RC}\Longrightarrow\alpha Ae{-0t}+\frac{Ae{-0t}+B}{RC}=\frac{E}{RC}\Longrightarrow Ae{-0t}(\frac{1}{RC}-0)+\frac{B}{RC}=\frac{E}{RC}$

$\Longrightarrow Ae{-0t}(\frac{1}{RC}-\frac{\alpha BC}{RC})+\frac{B}{RC}=\frac{E} {RC}\Rightarrow Ae{-0t}\big(1-RC\alpha)+B=E\Rightarrow Ae{-0t}(1-RC\alpha\big)=0$

$\Rightarrow(1-RC\alpha)=0\Rightarrow\alpha=\frac{1}{RC}$ $\Rightarrow u_{c}=$U_{0}-E$e^{-\frac{1}{RC}}+E$

4.1.4 Valeurs de l’intensité et de la tension en régime permanent :

$u_{c}=$U_{0}-E$e^{-\frac{1}{RC}}t+E$

$t\rightarrow\infty u_{c}=$U_{0}-E$e^{-\infty)+E=0\Rightarrow u_{c}=E=18V$

$i=\frac{Cdu_c}{dt}$ or $u_c=cste$ en régime permanent $\Rightarrow i=0$

4.1.5. La valeur de C :

$u_{c}=$U_{0}-E$e^{-\frac{1}{RC}}t+E$ or $u_{c}=\frac{3}{4}E\Longrightarrow\frac{3}{4}E=(U_{0}-E)e^{-\frac{1}{RC}t}+E\Longrightarrow\frac{3}{4}E-E=(U_{0}-E)e^{- \frac{1}{RC}t}$

$\Longrightarrow\frac{1}{4}E=(U_{0}-E)e^{-\frac{1}{RC}t}\Longrightarrow -4,5=-15e^{-\frac{1}{RC}t}\Longrightarrow\frac{1}{RC}t=ln\big(\frac{15}{45}\big)\Longrightarrow c=\frac{t}{Rlr(\frac{15}{45})} =3,5.10^{-6}F$

4.2.1.1 Schéma du circuit.

4.2.1.2. Equation différentielle :

$u_{C}=u_{R}$ or $u_{R}=R_{1}i$ et $i=\frac{Ccu_{c}}{dt}\Longrightarrow u_{C}=-\frac{R_{1}Ccu_{c}}{dt}\Longrightarrow\frac{cu_{c}}{dt}+\frac{u_{c}}{R_{1}C}=0$

4.2.1.3 Montrer que l’expression $u_{C}(t)=A^{\prime}e^{-\alpha^{\prime}t}+B^{\prime}$ est solution

$\frac{cu_{c}}{dt}+\frac{u_{c}}{R_{1}C}=0\Longrightarrow\frac{du_{c}}{dt}=-\frac{u_{c}}{R_{1}C}\Longrightarrow\frac{du_{c}}{u_{c}}=-\frac{dt}{R_{1}C}\longrightarrow\int{\frac{du_{c}}{u_{c}}}=-\int{\frac{dt}{R_{1}C}}\Longrightarrow ln(u_{c})=-\frac{t}{R_{1}C}+cste\Longrightarrow$

$u_{C}=A^{\prime}e^{\frac{t}{R_{1}C}}+B^{\prime}$ est solution avec

$\alpha^{\prime}=\frac{1}{R_{1}C}$

à $t=0,u_{C}=E\Rightarrow A^{\prime}+B^{\prime}=E$ et à $t\rightarrow\infty,u_{C}=u_{0}\Rightarrow$ $B^{\prime}=U_{0}$ et $A^{\prime}=E-U_{0}$

4.2.1.4 Durée de fonctionnement de la sirène :

$u_{m}=15.e^{\frac{t}{R_{1}C}}+3.\Longrightarrow 9=15.e^{\frac{t}{R_{1}C}}+3\Longrightarrow e^{\frac{t}{R_{1}C}}=\frac{6}{15}\Longrightarrow\frac{t}{R_{1}C}=ln\big(\frac{15}{6}\big)\Longrightarrow t=R_{1}C.ln\big(\frac{15}{6}\big)$

$t=4,7.10^{6}\ast 3,5.10^{6}.$\frac{15}{6}$\Rightarrow t=15s.$

4.2.2.1 L’équation différentielle relative à $u_{C}(t)$ :

$u_{L}+u_{C}=0\Longrightarrow LC\frac{di}{dt}+u_{C}\Longrightarrow LC.\frac{d^{2}u_{C}}{dt^{2}}+u_{C}=0\Longrightarrow \frac{d^{2}u_{C}}{dt^{2}}+\frac{1}{LC}.u_{C}=0$ équationdifférentielle.

la solution est de la forme : $u_{C}=u_{Cmax^{cos}}\big(\frac{1}{\sqrt{LC}}t+\varphi\big)$

$u_{C}(t)=K.cos\big(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\big)\Longrightarrow K=u_{cmax}=E;T_{0}=\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\Longrightarrow T_{0}=2\pi\sqrt{LC}$

à t=0 $u_{C}=E\Rightarrow cos\phi=1\Rightarrow\phi=0$

4.2.2.2. Equation différentielle relative à $u_{C}$

a) $u_{L}+u_{R}+u_{C}=0\Longrightarrow L\frac{di}{dt}+R_{d}i+u_{C}=0\Longrightarrow LC.\frac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}+\frac{R_{d}Cdu_{c}}{dt}+u_{C}=0$

$\Rightarrow \frac{d^{2}u_{C}}{dt^{2}}+\frac{R_{d}C_{d}u_{c}}{Ldt}+\frac{1}{LC}u_{C} =0$ or

$T_{0}^{2}=4\pi^{2}LC=\frac{T_{0}^{2}}{4\pi^{2}}=\frac{R_{d}C_{d}u_{c}}{Ldt}+\frac{4\pi^{2}}{T_{0}^{2}}.u_{C}=0$

$\frac{d^{2}u_{C}}{dt^{2}}+2\lambda.\frac{du_{C}}{dt}+\frac{4\pi^{2}}{T_{0}^{2}}.u_{C}=0$ avec $\lambda=\frac{R_d}{2L}$

b) Calcul de T: ; T=1,3 ms $T_0$ = 1,2 ms ; donc $T\approx T_0$ .

Corrigé 2012 : Etude d'une bobine

Détails: Catégorie : Electromagnétisme

4-1. Courbe i = f(t) :

4-2. Phénomène physique responsable du retard. Explication brève.

Il s’agit d’un phénomène d’auto-induction : lorsqu’on ferme l’interrupteur pour établir le courant électrique
dans le circuit, il se produit une variation du flux à travers la bobine, entrainant une f.e.m d’auto-induction
qui tend à s’opposer à la cause qui lui donne naissance.

4-3. Détermination graphique de l’intensité $I_0$

En régime permanent i = constante = $I_{0}$ . Graphiquement on lit $I_{0} = 10.10^{-3} A = 10 mA$ .

4-4. Equation différentielle

$u_{AB} + u_{BC} = E$

$ri + L\frac{di}{dt} + Ri = E$

$L\frac{di}{dt} + (R+r)i = E$

4-5. Expression de $I_0$ si $i = cte\Longrightarrow i = I_{0} = \frac{E}{R+r}$

Résistance de la bobine $r=\frac{E}{I_{0}}-R = \frac{4}{10.10^{-3}}-390 = 10 \Omega$

4-6. Vérification

$i= \frac{E}{R+r}\left( 1-e^{-\frac{t}{\tau}} \right) \Longrightarrow \frac{di}{dt}= \frac{E}{(R+r)}e^{-\frac{t}{\tau}$

$L\frac{di}{dt} + (R+r)i = E \Longrightarrow \frac{LE}{(R+r)\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}+ (R+r)\frac{E}{(R+r)}- \frac{(R+r)E}{R+r}e^{-\frac{t}{\tau}} = E$

$\left[\frac{LE}{(R+r)\tau}-\frac{R+r}{R+r}\right]e^{-\frac{t}{\tau}}=0 \Longrightarrow \frac{L}{(R+r)} = 1 \Longrightarrow \tau = \frac{L}{R+r}$ $\tau=\frac{L}{R+r}$

4-6-1.

$\tau$ est la constante de temps du circuit. C’est la durée au bout de laquelle l’intensité i
vaut 63% de sa valeur en régime permanent. Elle permet de mesurer pratiquement la
durée du phénomène transitoire : on peut estimer qu’au bout de 5 $\tau$ le régime transitoire est terminé, il s’établit un régime permanent.

Détermination de $\tau$
A $t =\tau \Longrightarrow i(t)= 0,63I_{0}= 6,3.10^{-3} A \Longrightarrow \tau \approx 2,5.10^{-4} s$ (abscisse du point d’ordonnée $6,3.10^{-3}$ )

4-6-2. Inductance L
$\tau = \frac{L}{R+r} \Longrightarrow L = (R+r)\tau = 400 \times 2,5.10^{-4}=0,1$ $L=0,1H$

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