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Corrigé 2016 :

Détails: Catégorie : algèbre

1. L’application complexe F correspondant à f est de la forme F(z) = az + b avec $a=\frac{1}{3}j^2$ et b = 0. C’est donc la similitude plane directe d’angle $\theta=\textrm{arg a}=2\textrm{arg j}=\frac{4\pi}{3}$ , de rapport
$k=|a|=\frac{1}{3}$ et de centre le point d’affixe $\frac{b}{1-a}=0$ c’est à dire l’origine.

2. a. Un point M' d’affixe z' appartient à $f(\cal{E})$ si et seulement si il existe un point M de $\cal{E}$ d’affixe z tel que F(z) = z'
c’est à dire $\frac{3}{j^2}z^{\prime}$ .

Alors en tenant compte des indications sur j on a :

$\begin{array}{lllll}M^\prime(z^\prime)\in f(\cal{E})&\Leftrightarrow& M(z)\in\cal{E}&&\\\\&\Leftrightarrow& jz^2+\overline{jz^2}-\frac{10}{3}z\bar{z}+192&=&0\\\\&\Leftrightarrow&j\left(\frac{3}{j^2}z^{\prime}\right)^2+\overline{j\left(\frac{3}{j^2}z^{\prime}\right)^2}-\frac{10}{3}\frac{3}{j^2}z^{\prime}\overline{\left(\frac{3}{j^2}z^{\prime}\right)}+192&=&0\\\\&\Leftrightarrow&9z^{\prime 2}+\overline{9z^{\prime 2}}-30z^\prime\bar{z^\prime}+192&=&0\\\\&\Leftrightarrow&3z^{\prime 2}+3\overline{z^{\prime 2}}-10z^\prime\bar{z^\prime}+64&=&0\end{array}$

Si z' s’écrit $z^{\prime}+iy^{\prime}$ , alors

$\begin{array}{lllll}M^\prime(z^\prime)\in f(\cal{E})&\Leftrightarrow& 3(z^{\prime 2}+\overline{z^{\prime 2}})-10z^{\prime}\bar{z^{\prime}}+64&=&0\\\\&\Leftrightarrow&3\times 2\mathbb{R}e(z^{\prime 2})-10(x^{\prime 2}+y^{\prime 2})+64&=&0\\\\&\Leftrightarrow&3\times 2(x^{\prime 2}-y^{\prime 2})-10(x^{\prime 2}+y^{\prime 2})+64&=&0\\\\&\Leftrightarrow&x^{\prime 2}+4y^{\prime 2}&=&16\end{array}$

L’équation $x^{2}+4y^{2}=16$ est bien une équation cartésienne de $f(\cal{E})$ .

b. Cette dernière équation s’écrit aussi $\frac{x^{2}}{4^2}+\frac{y^{2}}{2^2}=1$ .

$f(\cal{E})$ est donc une ellipse de centre l’origine.

Ses foyers $F^{\prime}_1$

et $F^{\prime}_2$ ont pour coordonnées respectives (-c, 0) et (c, 0) avec $c=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$ . Son excentricité est $e=\frac{c}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. Les foyers et axes de $\cal{E}$ sont les images réciproques des foyers et axes de $f(\cal{E})$ par la similitude réciproque de f, laquelle a pour centre O, pour angle $-\theta=-\frac{4\pi}{3}\equiv\frac{2\pi}{3}[2\pi]$ et pour rapport $\frac{1}{k}=3$ .

Les graphiques de $f(\cal{E})$ et de $\cal{E}$ .

Corrigé 2015 :

Détails: Catégorie : algèbre

1a. Il suffit de l’écrire.

b. Soit k un entier non nul et T = (p, q, r) un triplet d’entiers relatifs tel que r non nul.

$T\in\Gamma\Leftrightarrow p^{2}+ q^{2}= r^{2}\Leftrightarrow (kp)^{2}+(kq)^{2}=(kr)^{2}\Leftrightarrow kT\in\Gamma$

2. a. Posons $T_{1} = (p_{1}, q_{1}, r_{1}) et T_{2} = (p_{2}, q_{2}, r_{2}).$ Alors.

$\overrightarrow{OM_{1}}.\overrightarrow{OM_{2}}=p_{1}p_{2}+q_{1}q_{2}$

$||\overrightarrow{OM_{1}}\wedge\overrightarrow{OM_{2}}||=||(p_{1}q_{2}-p_{2}q_{1})\vec{k}||=|p_{1}q_{2}-p_{2}q_{1}|$

et $||\overrightarrow{OM_{1}}||.||\overrightarrow{OM_{2}}||=r_{1}r_{2}$

sont bien des entiers. Ensuite

$$\overrightarrow{OM_{1}}.\overrightarrow{OM_{2}}$^{2}$ = $||\overrightarrow{OM_{1}}||^{2}.||\overrightarrow{OM_{2}}||^{2}cos^{2}\theta$

$||\overrightarrow{OM_{1}}\lwedge\overrightarrow{OM_{2}}||^{2}$ = $||\overrightarrow{OM_{1}}||^{2}.||\overrightarrow{OM_{2}}||^{2}sin^{2}\theta$

Donc

$\big(\overrightarrow{OM_{1}}.\overrightarrow{OM_{2}}\big)^{2}+||\overrightarrow{OM_{1}}\lambda\overrightarrow{OM_{2}}||^{2}=\big(||\overrightarrow{OM_{1}}||.||\overrightarrow{OM_{2}}||\big)^{2}$

et $T_{1}\ast T_{1}\in\Gamma$

Ou bien :

$\begin{array}{lllll}(\overrightarrow{OM_{1}}.\overrightarrow{OM_{2}})^{2}+||\overrightarrow{OM_{1}}\wedge\overrightarrow{OM_{2}}||^{2}&=&(p_{1}p_{2}+q_{1}q_{2})^{2}+|p_{1}q_{2}-p_{2}q_{1}|^{2}&=& p_{1}^{2}p_{2}^{2}+q_{1}^{2}q_{2}^{2}+p_{1}^{2}q_{2}^{2}+p_{2}^{2}q_{1}^{2}\\&=&(p_{1}^{2}+q_{1}^{2})(p_{2}^{2}+q_{2}^{2})&=&r_{1}^{2}r_{2}^{2}\\&=&(||\overrightarrow{OM_{1}}||.||\overrightarrow{OM_{2}}||)^{2}&&\end{array}$

b. Le }triplet $T_{1} \ast T_{1}$ est trivial si et seulement si $\overrightarrow{OM_{1}}.\overrightarrow{OM_{2}}=0$ ( c’est à dire $(OM_{1})$ et $(OM_{2})$ sont perpendiculaires) ou $\overrightarrow{OM_{1}}\wedge\overrightarrow{OM_{2}}=0$ ( c’est à dire

$(\overrightarrow{OM_{1}})$ et $(\overrightarrow{OM_{2}})$ sont colinéaires donc $(OM_{1})$ et $(OM_{2})$ sont confondues).

c. Notons $M^{\prime})$ et $M^{\prime\prime}$ les points associés au triplets $T^{\prime})$ et $T^{\prime\prime}$ .

Alors

$S^{\prime})=T^{\prime}\ast T^{\prime\prime}=\overrightarrow{OM^{\prime}}.\overrightarrow{OM^{\prime\prime}},||\overrightarrow{OM^{\prime}}\wedge\overrightarrow{OM^{\prime\prime}}||,||\overrightarrow{OM^{\prime}}||.||\overrightarrow{OM^{\prime\prime}}||= (63, 16, 65)$ appartient à $\Gamma$ et il est irréductible.

$T^{\prime\prime}_{0} = (-5, 12, 13)$ est aussi un élèment de $\Gamma$ ; notons

$M^{\prime\prime}_{0}$ le point associé au triplet $T^{\prime\prime}_{0}$ .

Alors $S^{\prime\prime} = T^{\prime}\ast T^{\prime\prime}_{0}=\overrightarrow{OM^{\prime}}.\overrightarrow{OM^{\prime\prime}}_{0},||\overrightarrow{OM^{\prime}}\wedge\overrightarrow{OM^{\prime\prime}}_{0}||,||\overrightarrow{OM^{\prime}}||.||\overrightarrow{OM^{\prime\prime}}_{0}||=(33, 56, 65)$ appartient à $\Gamma$ et il est irréductible.

Notons $N^{\prime})$ et $N^{\prime\prime}$

les points associés au triplets $S^{\prime})$ et $S^{\prime\prime}$ .

Alors $S^{\prime\prime} = \ast S^{\prime\prime}_{0}=\overrightarrow{ON^{\prime}}.\overrightarrow{ON^{\prime\prime}}_{0},||\overrightarrow{ON^{\prime}}\wedge\overrightarrow{ON^{\prime\prime}}_{0}||,||\overrightarrow{ON^{\prime}}||.||\overrightarrow{ON^{\prime\prime}}_{0}||= (2975, 3000, 4225$ appartient à $\Gamma$ mais est réductible. Le triplet irr´eductible correspondant est (119, 120, 169).

on obtient d’autres triplets en combinant par exemple $T^{\prime}$ et $S^{\prime\prime}$ ou $T^{\prime\prime}$ et $S^{\prime\prime}$ etc...2

Corrigé 2010

Détails: Catégorie : algèbre

1. a) Pour que $193$ soit premier, il faut et il suffit qu'il soit non divisible par tout nombre premier dont le carré est inférieur à $193$ . Ces nombres sont $2,\, 3,\, 5,\, 7,\, 11,\, 13$ et aucun d'eux ne divise $193.$

b) $193$ étant premier, est premier avec tout entier naturel strictement plus petit, en particulier, il est premier avec $192.$

Il suffit d'appliquer le petit théorème de Fermat avec $a=193$ et $p=192.$

2. a) Le couple $(x_0, y_0)=(155, 67)$ est solution de $(E)$ parce que $83 . 155 - 192 . 67 = 1$ .

b) Si $(x, y)$ est une solution de $(E)$ on peut écrire :
$\left\{\begin{array}{l}83. x_0 - 192. y_0 = 1 \\83 . x -192 . y = 1\end{array} \right.$

Puis en faisant la différence $83 .( x-x_0) - 192.(y-y_0) = 0$

c'est à dire

$83 .( x-x_0) = 192 . (y-y_0)$

Or $83$ est premier avec $192$ parce que l'équation $(E)$ a une solution (théorème de Bezout).

La relation précédente montre que $83$ divise le produit $192 . (y-y_0)$ (en $x-x_0$ parties); comme il est premier avec $192$ , il divise $y-y_0$ (théorème de Gauss).

Donc il existe un entier $k$ tel que $y-y_0 =83 k$ soit $y= y_0 + 83 k$ .

La relation $83 . x - 192 . y = 1$ devient alors $83 . x = 192 . ( y_0 + 83 k) + 1= 83.(x_0 +192 k)$ \ie $x = x_0 +192 k$

Ensuite on vérifie que n'importe quel couple du genre $(x_0 +192 k, y_0 + 83 k)$ est bien une solution de $(E)$ .

L'ensemble des solutions de $(E)$ est $\set{(155+192 k, 67 + 83 k),\; k\in\mathbb{Z}$

3. On utilisera la propriété suivante : Si $a, b$ et $n$ sont des entiers tels que ${/a \equiv b [n],$

alors pour tout entier naturel $k$ on a : $a^k \equiv b^k [n]$

Posons $\mathcal{A} =\set{0,\,\dots\,192}$ . Pour tout $a \in \mathcal{A}$ , $f(a)$ et $g(a)$ sont les seuls éléments de $\mathcal{A}$ tels que :

$f(a) \equiv a^{83}\ [193]$ $(1)$
et $g(a) \equiv a^{155}\ [193]$ $(2)$

Puisque $g(a)$ appartient à $\mathcal{A}$ , dans $(2)$ , on peut remplacer $a$ par $f(a)$ :

$g(f(a)) \equiv f(a) ^{155}\ [193]$ }

Dans $(1)$ utilisons la propriété citée avec $k=155$ :

$f(a)^{155} \equiv \Big(a^{83}\Big)^{155}\ [193]$

On obtient alors par transitivité de $\equiv :$

$g(f(a)) \equiv a^{83.155 }\ [193] (3)$

a) Reprenons la relation $83 . x_0 + 192 . y_0 = 1$

qui s'écrit aussi : $83 . x_0 =1+ 192 . y_0$

Cette relation permet d'avoir : $a^{83 . x_0} =a^{1+ 192 . y_0}= a\ (a^{ 192})^{ .67}$

Comme nous le savons déjà $a^{ 192} \equiv 1 [193]$ . Donc $a^{83.155 }= a^{83 . x_0} =a^{1+ 192 . y_0}\equiv a .\ 1^{67} [193]$ .

Finalement

$a^{83.155 } \equiv a [193]\quad (4).$

$(3)$ et $(4)$ entraînent par transitivité :
$g(f(a)) \equiv a [193]$

$g(f(a))$ et $a$ sont des éléments de $\mathcal{A}$ équivalents modulo $193$ .

Nous allons monter qu'ils sont égaux.

$g(f(a))$ et $a$ sont des éléments de $\mathcal{A}$ entraîne $|g(f(a))-a| \leq 192$

$g(f(a)) \equiv a [193]$ signifie il existe un entier $k$ tel que $g(f(a)) - a =193 k$ .

On déduit de ces deux propriétés que $193| k| \leq 192$ c'est à dire $k=0$ ou $g(f(a)) = a$ .

Le même raisonnement montre que pour tout $a \in \mathcal{A}$ , on a : $f(g(a)) = a$ .

Nous venons de démontrer que $f\circ g = g\circ f = I_\mathcal{A}$

Corrigé 2014 : Algébre

Détails: Catégorie : algèbre

1.a. Si n=1, la propriété est triviale. Supposons donc $n\geq 2$ .

$a\wedge b^{n}=1\Leftrightarrow u,v\in\mathbb{Z}{ : au+b{n}v=1$ d'après Bezout

$\Rightarrow au+b^{n}v\prime =1$ avec $v\prime =b{n-1}v$

$\Rightarrow a\wedge b =1$

Réciproquement

$a\wedge b =1\Leftrightarrow \exists u,v\in\mathbb{Z} : au+bv=1$ d'après Bezout

$\Leftrightarrow \existsu,v\in\mathbb{Z} : bv=1-au$

$\Rightarrow b^{n}v^{n}=(1-au)^{n}$

$\Leftrightarrow b^{n}v^{n}=\sum_{p=0}^{n}C_{n}^{p}a^{p}(-u)^{p}$

Tous les termes de la somme $\sum_{p=0}^{n}C_{n}^{p}a^{p}(-u)^{p}$ contiennent le facteur a sauf le premier(correspondant à p=0) qui vaut 1; donc cette somme s'écrit $1+au\prime, u\prime\in\mathbb{Z}$ et

$a\wedge b=1\Leftrightarrow b^{n}v\prime =1+au\prime$ avec $v\prime =v^{n}$

$\Longleftrightarrow -au\prime +b^{n}v\prime =1$

$\Rightarrow a\wedge b^{n} =1$ d'après Bezout

b. si a et b sont premiers entre eux , alors a est premier avec $b^{n}$ , d'après le a.
Comme a divise le produit $b^{n} c$ , il divise c, d'après Gausse.

2.a. La fonction $f: x\mapsto 7x^{3}+2x^{2}+2x-5$ est définie sur $\mathbb{R}$ ,est continue et dérivable et

$\forall x\in\mathbb{R}, f\prime (x)=21x^{2}+4x 21x^{2}+4x+2$ .

La dérivée est un polynome du second degré en s dont le discriminant réduit $2^{2}-42$ est strictement négatif; la dérivé est alors strictement positive sur $\mathbb{R}$ , cette dernière égalité provenant du fait que $\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$

L'équation f(x) = 0 admet donc une solution réelle unique.
$f(0)f(1)=-30<0$ donc la solution réelle de l'équation appartient à ]0,1[, d'après le théorème des valeurs intermédiaires.

b. Si p/q est solution de l'équation , on doit avoir $7\frac{p^{3}}{q^{3}}+2\frac{p^{2}}{q^{2}}+2\frac{p}{q} -5=0$

Cette relation s'écrit

$p(7p^{3}+2p^{2}q+2qp^{2})=5q^{3}$

donc p divise $5q^{3}$ et d'après la question précédente, p divise 5.

Cette relation s'écrit aussi

$7p^{3}=q(5q^{2}-2pq -2p^{2})$

donc q divise $7p{3}$ et d'après la question précédente, q divise 7.

c. Une éventuelle solution rationnelle de l'équation étant positive", on peut considérer que p et q sont positifs ; alors, les seules valeurs possibles de p sont 1 et 5 et les seules valeurs possibles de q sont 1 et 7. Comme en plus la solution appartient à l'intervallle ] 0,1 [, les seuls candidats solutions sont 1/7 et 5/7.

Un calcul direct montrer alors que l'unique solution rationnelle de l'équation est 5/7

3. Ce qui précède montre que 7x - 5 est un facteur du polynome $7x^{3}+2x^{2}+2x-5$ .

En procédant par idantification ou par division euclidienne, on obtient

$7x^{3}+2x^{2}+2x-5=(7x-5)(x^{2}+x+1)$

les autres solutions de l'équation sont donc celles de $x^{2}+x+1=0$ .

Le discriminant de cette équation est $-3=(i\sqrt{3})^{2}$ .

Les solution s complexes de l'équation sont donc $5/7,j=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ et $\bar{j}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$

Corrigé 2009

Détails: Catégorie : algèbre

1. Chacun des entiers qui interviennent dans l'écriture d'un nombre en base $a$ doit être strictement inférieur à $a$ . Comme l'entier $3$ intervient dans l'écriture de $C$ , on a $a>3.$

2. a. Les données du problème se traduisent par

A = $\ondang 2\times a^{2}+\ondang 1\times a^{1}+\ondang1\times a^{0}$

B = $\ondang3\times a^{2}+\ondang1\times a^{1}+\ondang 2\times a^{0}$

C = $\ondang1\times a^{5}+\ondang3\times a^{4}+\ondang3\times a^{3}+\ondang0\times a^2+\ondang3 \times a+\ondang2\timesa^{0}$

La relation $C=AB$ signifie alors:

$6a^4+5a^3+8a^2+3a+2=a^5+3a^4+3a^3+3a+2$
soit $a^5-3a^4-2a^3-8a^2=0$
ou $a^3-3a^2-2a -8 =0$

b. La relation $a^3-3a^2-2a -8 =0$ se traduit par $a(a^2-3a -2)=8$ ; ce qui entraîne que $a$ divise $8$ , l'autre facteur étant $T(a)=a^2-3a -2$ .

c. $a$ étant un diviseur de $8$ strictement supérieur à $3$ vaut nécessairement $4$ ou $8$ .

Si $a$ était égal à $8$ , le facteur $T(a)$ serait égal à $38$ et non à $1$ .

On vérifie ensuite que pour $a = 4$ on a bien $a(a^2-3a -2)=8$ .

3. Faisons les divisions euclidiennes successives:

Le nombre qui s'écrit $214$ dans la base $10$ à pour écriture $3112$ dans la base $4$ .

Vérification!! On a bien: $\ondang{3}\times 4^3+\ondang{1}\times 4^2+\ondang{1}\times 4^1+\ondang{2}\times 4^0=214$

4.a. Puisque $a=4$ , les relations deviennent:

A = $\ondang2\times4^2+\ondang1\times4^1+\ondang1$ = 37

B = $\ondang3\times4^2+\ondang1\times4^1+\ondang2$ = 54

C = $\ondang1\times4^5+\ondang3\times4^4+\ondang3\times4^3+\ondang3\times4+\ondang2$ = 1998

Soit { $A=37,\;B=54,\;C=1998$ }

b. On a $A=37$ est premier, $B=54 =2.\,3^3$ .

Donc ppcm $(A,B)=37.2.\,3^3 = A.B=C$ .

On en déduit aussi pgcd $(A,B) =1$ .

{La propriété pgcd $(A,B) =1$ garantit l'existence des solutions de l'équation $Ax+By=1$ .}

5. a. $A .19+B.(-13)=1$ donc le couple $(x_0, y_0)=(19,-13)$ est bien solution de l'équation $Ax+By=1$ .

b. La solution générale de l'équation est $(x, y) = (x_0+kB, y_0-kA),\; k \in \Z$

$S=\set{(19+54k,-13-37k),\; k \in \Z}$

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