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Corrigé 2010 :Charge d’un condensateur et décharge sur un circuit L,R

Détails: Catégorie : Oscillations électriques

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4.1 Etablissement de l'équation diérentielle vé'riée par la tension $u_{AB}$ au cours de cette étap e de la charge du condensateur :

$u_{0}=u_{AB}+u_{R}$ avec $u_{R} =R\times i$ et $i=\frac{dq}{dt}$ aussi $q=C.u_{AB}$

Soit $u_{R}=R\frac{dC.u_{AB}}{dt}=RC\frac{du_{AB}}{dt}$

Donc l'équation différentielle vérifiée par la tension est : $RC\frac{du_{AB}}{dt}+u_{AB}=u_{0}$

4.2 Vérification de la solution de l'équation différentielle : $u_{AB}=u_{0}\left(1-e^{\frac{t}{\tau}}\right)$

$\frac{du_{AB}}{dt}=-\frac{U_{0}}{\tau}e^{\frac{t}{\tau}}=0$

On obtient : $RC\frac{U_{0}}{\tau}e^{\frac{t}{\tau}}+u_{0}\left(1-e^{\frac{t}{\tau}}\right)=U_{0}$

$\Longrightarrow \frac{RC}{\tau}e^{\frac{t}{\tau}}+1-e^{\frac{t}{\tau}}=1$

$\Longrightarrow e^{\frac{t}{\tau}}\left( \frac{RC}{\tau}-1\right)=0$

$\Longrightarrow \frac{RC}{\tau}-1=0$ $\Longrightarrow \frac{RC}{\tau}=1$ $\Longrightarrow \tau=RC$

Application numérique : $\tau =10.10^{3}\times1.10^{-6}=10^{-2}s=100 ms$

4.3.1

Le graphe qui a l'allure d'une courbe exponentielle est en accord avec l'expression de u(AB).

Aussi, avec l'expression $u_{AB}=u_{0}\left(1-e^{\frac{t}{\tau}}\right)$

à t = 0 on a $u_{AB}=u_{0}\left(1-e^{\frac{0}{\tau}}\right)=u_{0}\left(1-1\right)=0$

et lorsque $t\rightarrow +\infty$ alors $u_{AB}\longrightarrow u_{0}=5V$

ce qui vérifie la courbe

4.3.2

$\tau$ est la date à laquelle $u_{AB}=0,63u_{0}=3,15V$

A partir du graphe, on cherche l'abscisse du point de la courbe dont l'ordonnée est égale à 3,15 V.

On trouve $\tau = 10.10^{-3}s=10^{-2}s$

Autre méthode : On peut déterminer $\tau$ en traçant la tangente à la courbe à l'origine, $\tau$ est l'abscisse du point d'intersection de cette tangente avec la droite d'équation $U_{AB}=U_{0}$

On remarque que les deux valeurs de $\tau$ sont égales. On peut déterminer $\tau$ par le calcul ou par la méthode graphique.

4.4

$i=\frac{dq}{dt}$ avec $q=C.u_{AB}$ donc $i=C\frac{du_{AB}}{dt}$

$\frac{du_{AB}}{dt}=\frac{u_{0}}{\tau}e^{\frac{t}{\tau}}$ et $\tau=R\times C$

donc $i = \frac{C.U_{0}}{RC}e^{\frac{t}{\tau}}-\frac{U_{0}}{R}e^{\frac{t}{\tau}}$

Allure de i(t)

4.5.1 Equation dférentielle traduisant les variations de la charge q(t) du condensateur.

Aux bornes du condensateur : $u_{AB}+\frac{q}{C}$

Aux bornes de la bobine et du résistor : $u_{BA}=Ri+L\frac{di}{dt}$

$u_{AB}=-u_{BA} \Longrightarrow \frac{q}{C}=Ri+L\frac{di}{dt} \Longrightarrow \frac{q}{C}+Ri+L\frac{di}{dt}=0$

Aussi $i=\frac{dq}{dt}$ donc $\frac{di}{dt}=\frac{d^{2}q}{dt^{2}}$

L'équation devient : $\frac{q}{C}+R\frac{dq}{dt}+L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}=0 \Longrightarrow {d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{R}{L}{dq}{dt}+\frac{1}{LC}q=0$

4.5.2

On avait $\ddot{q}+\frac{R}{L}\dot{q}+\frac{1}{LC}q=0 \Longrightarrow L\ddot{q}+R\dot{q}+\frac{1}{C}Q=0$

On multitiplie les deux memvres de l'égalité par $\dot{q}$ et on obtient :

$\Longrightarrow L\ddot{q}\dot{q}+R\dot{q}\dot{q}+\frac{1}{C}q\dot{q}=0$

$\Longrightarrow \frac{1}{2}L\frac{d}{dt}\dot{q}^{2}+R\dot{q}^{2}+\frac{1}{2C}\frac{dq^{2}}{dt}=0$

$\Longrightarrow \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}Li^{2}+\frac{1}{2}\frac{q^{2}}{C}\right)+Ri^{2}=0$

4.5.3

$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}Li^{2}+\frac{1}{2}\frac{q^{2}}{C}\right)=-Ri^{2}$

La variation de l'énergie emmegasinéedans le circuit est égale à l'énergie dissipée par effet joule au niveau du résistor. L'énergie du circuit dimunie au cours du temps.

4.5.4 Les régimes principaux de fonctionnement d'un circuit RLC sont : le régime pseudo-périodique, le régime critique et le régime apériodique (sous_critique)

Représentation de ces trois régimes.

4.5.5 Si R = 0 on a un régime périodique etl'expression de la période est $T=2\pi\sqrt{LC}$

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